Đề ôn tập môn Toán Khối 9 - Đề số 4 (Có đáp án)

1

ĐỀ ÔN TẬP SỐ 4

Bài 1. Cho biểu thức                 

x 2 x 1 x 1 M : 2 x x 1 x x 1 x 1

với x 0;x 1  

1) Rút gọn biểu thức M

2) Tìm x để M = 2

Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): y = x2, đường thẳng (d) có hệ số góc k và đi qua điểm I(0; 1)

1) Chứng minh rằng (d) và (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt với mọi k

2) Gọi 2 giao điểm của (d) và (P) là   1 1 A x ;y ,   2 2 B x ;y . Tìm k để tam giác OAB có diện tích bằng

2 2

Bài 3. 1) Cho hệ phương trình:    

a 1 x y a 1

x a 1 .y 2

        

a) Giải hệ với a = 2 b) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn x + y nhỏ nhất. 2) Một hình chữ nhật có diện tích bằng 35m2. Nếu tăng chiều rộng thêm 2m và giảm chiều dài đi 2m thì diện tích không thay đổi. Tính chu vi hình chữ nhật đó.

Bài 4. Cho đường tròn (0;R), hai đường kính AB và MN. Đường thẳng BM và BN cắt tiếp tuyến kẻ từ A của đường tròn lần lượt tại E,F. Gọi P,Q theo thứ tự là trung điểm của EA và FA.

1) Chứng minh tứ giác MNFE nội tiếp được

2) Kẻ PI vuông góc với BQ, PI cắt OA tại H. Chứng minh AH.AB = AQ.AP và H là trung điểm của OA

3) Tính giá trị nhỏ nhất của của diện tích tam giác BPQ theo R

Bài 5. Cho a,b,c > 0 thoả mãn

2 2 2 a b c 1   

Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 a b c 3 3 b c c a a b 2      

HƯỚNG DẪN GIẢI. BÀI NỘI DUNG

1

                

x 2 x 1 x 1 M : 2 x x 1 x x 1 x 1

với x 0;x 1  

ThuVienDeThi.com

2

     

x 2 x x 1 x x 1 2 M .

x 1 x 1 x x 1

      

   

  

x 2 x x x x 1 2 M .

x 1 x 1 x x 1

      

   

    

2 x 1 2 2 M .

x 1 x x 1 x 1 x x 1

        

Vậy 2 M

x x 1 

 

với x 0;x 1  

2 M 1 2 x x 0 x x 1       

  x x 1 0   

x 0   ( do x 1 0  )

x 0   (TMĐK)

Tìm được x = 0 (tmđk) x = 1 ( loại) và kết luận

2 Vì đường thẳng (d) có hệ số là k nên (d) có dạng y = kx + b

Đường thẳng (d) đi qua điểm I(0; 1) ta có 1 = k.0 + b

=> b = 1 => (d) có dạng y = kx + 1

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

2 2 x kx 1 x kx 1 0     (*)

Ta có 1.(-1) = -1 < 0

=> phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu với mọi k

Chứng tỏ (d) và (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt với mọi k

Vẽ (P) và (d)

Hai giao điểm của (d) và (P) là   1 1 A x ;y ,   2 2 B x ;y ., nên x1, x2 là nghiệm của

phương trình (*)

ThuVienDeThi.com

3

Theo hệ thức viet ta có:

1 2

1 2

x x k

x .x 1

     

Vì 1 2 x .x 1 0  , nên điểm A, B nằm ở 2 phía của trục Oy. Giả sử A nằm bên

trái Oy => 1 2 x 0 x  

Kẻ AH, BK Oy

=>   OAB OAI OBI

1 S S S OI. AH BK 2 2 2     

    1 2 2 1 1 1 .1. x x 2 2 x x 2 2 2 2       ( do x1 < 0; x2 > 0)

    2 2

2 1 1 2 1 2 x x 32 x x 4x x 32       

2 k 4 32 k 2 7     

Vậy với k 2 7  thì tam giác OAB có diện tích bằng 2 2

3

Thay a = 2 vào hệ phương trình ta được 3x y 1 x y 2      

3 x 4x 3 4 x y 2 5 y 4

             

Vậy với a = 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất   3 5 x;y ; 4 4      

   

 

   

x 2 a 1 .y a 1 x y a 1

a 1 . 2 a 1 y y a 1 x a 1 .y 2

                            

 

2 x 2 a 1 y

a .y a 3(*)

        

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất  phương trình (*) có nghiệm duy nhất  a  0

ThuVienDeThi.com