50 Bài tập về bất đẳng thức

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .

1

50 Bài tập về bất đẳng thức:

Bài 1: Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của 3 a  1 S a a  

Giải: 1 8a 1 24 1 10 ( ) 2 . 9 9 9 9 3 a a S a a a a        

Bài 2: Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của 2 a  2 1 S a a  

Giải: 3 2 2 2 1 6a 1 12 1 12 3 9 S ( ) 3 . . 8 8 8 8 8 8 8 4 4 a a a a a a a a           

Bài 3: Cho a,b >0 và , tìm giá trị nhỏ nhất của a 1 b   1 S ab ab  

Giải: 2 1 1 15 1 15 17 S ( ) 2 16a 16a 16a 4 16 2

ab ab ab ab b b b a b               

Bài 4: Cho a,b,c>0 và . Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 2 a b c   

2 2 2 2 2 2 1 1 1 S a b c b c a      

Giải: Cách 1:

Cách 2:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 S

1 1 1 1 4 (1 4 )( ) (1. 4. ) ( ) 17

a b c b c a

a a a a b b b b

     

       

Tương tự

2 2 2 2 1 1 4 1 1 4 ( ); ( ) 17 17 b b c c c c a a      

Do đó:

ThuVienDeThi.com

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .

2

1 4 4 4 1 36 ( ) ( ) 17 17

1 9 135 3 17 ( ) 4( ) 4( ) 2 17

S a b c a b c a b c a b c

a b c a b c a b c

         

               Bài 5: Cho x,y,z là ba số thực dương và . Chứng minh rằng: 1 x y z   

2 2 2 2 2 2 1 1 1 82 x y z y z x      

Giải:

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 9 (1. 9. ) (1 9 )( ) ( ) 82

1 1 9 1 1 9 : ( ); ( ) 82 82 1 9 9 9 1 81 ( ) ( ) 82 82

1 1 80 ( ) 82 82

x x x x y y y y

TT y y z z z z x x

S x y z x y z x y z x y z

x y z x y z x y z

       

     

           

               

Bài 6: Cho a,b,c>0 và . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 3 20 a b c    3 9 4 2 S a b c a b c     

Giải: Dự đoán a=2,b=3,c=4

12 18 16 12 18 16 4 4 4 4 2 3 3a 2

20 3.2.2 2.2.3 2.4 52 13

S a b c a b c b c a b c a b c S

                                       

Bài 7: Cho x,y,z> 0 và . Tìm giá trị lớn nhất của 1 1 1 4 x y z   

1 1 1 2x 2 2z P y z x y z x y          Giải:

ThuVienDeThi.com

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .

3

Ta có

1 1 4 1 1 4 1 1 1 1 4 4 16 1 1 1 2 1 ; 2 2 16

:

1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 ; 2 16 2 16

1 4 4 4 1 16

x y x y y z y z x y y z x y y z x y z x y z x y z

TT

x y z x y z x y z x y z

S x y z

                            

                     

          Bài 8

Chứng minh rằng với mọi , ta có x R  12 15 20 3 4 5 5 4 3

x x x

x x x                        Giải:

12 15 12 15 20 15 20 12 2 . 2.3 ; 2.5 ; 2.4 5 4 5 4 3 4 3 5

x x x x x x x x x x x                                                     Cộng các vế tương ứng => đpcm. Bài 9: Cho x,y,z>0 và x+y+z =6 . Chứng minh rằng 1 1 1 8 8 8 4 4 4 x y z x y z        

Giải: Dự đoán x=y=z = 2 và nên : 3 3 8 .8 64 4 x x x x  

3 2 2

3 2 2

3 2 2

3 3 2 2 2

8 8 8 3 8 .8 .8 12.4 ;

8 8 8 3 8 .8 .8 12.4 ;

8 8 8 3 8 .8 .8 12.4

8 8 8 3 8 .8 .8 3 8 .8 .8 192

x x x x x

y y y y y

z z z z z

x y z x y z

   

   

   

     Cộng các kết quả trên => đpcm. Bài 10: Cho x,y,z>0 và xyz = 1. Hãy chứng minh rằng

3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 3 x y y z z x xy yz zx         

Giải:

      3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3

2 2 2

1 3 3x

1 3x 1 3 3 3 1 3 x 3 ; ; x x x

1 1 1 1 3 3 3 3 3

x y xy x y x y xyz xy x y xy x y z xy xyz y

x y y y z yz z x z xy yz z z z

S

xy yz zx x y z

            

           

            

ThuVienDeThi.com