Tổng hợp các bài số học và tổ hợp trong các kì olympic thi - Năm học 2013-2014

Lưu Giang Nam –1– c⃝Diễn đàn Toán học

TỔNG HỢP CÁC BÀI SỐHỌC VÀ TỔ HỢP TRONG CÁC KÌ OLYMPIC THI NĂM 2013-2014

Lưu Giang Nam Chuyên Toán, k20, Chuyên Phan Ngọc Hiển, Cà Mau.

1 Lời nói đầu.

Trong các kì thi Olympic Toán ởViệt Nam và trên thếgiớthì Sốhọc và Tổ hợp luôn là phần quan trọng và quyết định giải cho hầu hết học sinh dựthi.Nếu hoc giỏi phần này thì học sinh sẽcó thểđạt được thành tích cao trong các kì thi này. Tuy nhiên đây là phần khó học và cũng khó lấy điểm, tuy nhiên nó được sửdụng lại ý tưởng rất nhiều qua các kì thi.Đây có thểlà một lợi thếcho các học sinh học không tốt phần này.

Bài viết tổng hợp các bài Sốhọc và Tổhợp qua các kì thi HSG các cấp năm 2013- 2014. Phần bài giải được lấy lại từcác thành viên VMF đăng trên diễn đàn và 1 sốbài do mình tựgiải. Một sốbài khá khó mình giải không ra và cũng không tìm thấy bài giải trên mạng nên mình đểTựlàm. Do làm trong một thời gian ngắn nên có thểcó sai sót, hy vọng các bạn có thểtìm thấy và tựsửa dùm mình. Hy vọng bài viết sẽgiúp ích ít nhiều cho các bạn trong quá trình học Sốhọc, Tổhợp và thi HSG các cấp. Chúc các bạn có những kì thi học sinh giỏi tốt trong năm 2015 và các năm sau, đặc biệt là có thểxửlí gọn câu Sốhọc và câu Tổhợp .

Đến một lúc nào đó, bạn làm toán vì bạn thích chứkhông phải đểchứng tỏmột cái gì nữa.

Giáo sư Ngô Bảo Châu ThuVienDeThi.com

Ngày 24 tháng 7 năm 2014

Mục lục

1 Lời nói đầu. 1

2 Đềthi 3 2.1 Đềthi cấp tỉnh, thành phốvà các kì thi phong trào . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Đềthi quốc qia, quốc tế. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Gợi ý giải 18 3.1 Gợi ý giải đềthi cấp tỉnh, thành phốvà các kì thi phong trào . . . . . . . . . 18 3.2 Gợi ý giải đềthi quốc qia, quốc tế. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Phụlục 45 4.1 Sốhọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2 Tổhợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2

ThuVienDeThi.com

Lưu Giang Nam –3– c⃝Diễn đàn Toán học

2 Đềthi

2.1 Đềthi cấp tỉnh, thành phốvà các kì thi phong trào

Bài 1. Ta xếp một hoán vịcủa (1, 2, 3, ..., 2014) lên vòng tròn và kí hiệu các sốbởi a1, a2, a3, ..., a2014 theo chiều kim đồng hồ. Quy ước a1 = a2015 và a0 = a2014. Gọi N là sốcác chỉsố 1 ≤i ≤2014 sao cho hoặc ai−1 > ai > ai+1. Tìm tất cảcác giá trịcó thểcó của N.

Đềthi chọn đội tuyển tham dựVMO 2014 THPT chuyên Khoa Học TựNhiên, vòng 1

Bài 2. Cho 100 sốnguyên dương không lớn hơn 100 có tổng bằng 200. Chứng minh rằng từ các sốđó có thểchọn được ít nhất một bộcác sốcó tổng bằng 100.

(Đềđềnghịduyên hải ĐBBB thpt chuyên Hưng Yên năm 2014 )

Bài 3. Tìm sốnguyên dương n nhỏnhất để2013n −1 chia hết cho 22014.

(Đềđềnghịduyên hải ĐBBB thpt chuyên Hưng Yên năm 2014 )

Bài 4. Cho 10 sốnguyên dương a1, a2, ..., a10. Chứng minh rằng tồng tại các sốci ∈−1, 0, 1 không đồng thời bằng 0 sao cho ∑10 j=1 ci.aj chia hết cho 1023.

(Đềđềnghịduyên hải đbbb thpt chuyên bắc giang năm 2014 )

Bài 5. Chứng minh rằng từ19 sốtựnhiên tùy ý, luôn tìm được 2 sốsao cho hiệu các bình phương của chúng chia hết cho 36.

(Đềchọn đội tuyển thi Trại hè Hùng Vương 2014 - Chuyên Yên Bái )

Bài 6. Trên mặt phẳng có 25 điểm, không có 3 điểm nào trong chúng thẳng hàng. Tìm số màu k nhỏnhất sao cho ta có thểtô màu tất cảcác đoạn thẳng nối hai điểm trong mặt phẳng bởi k màu (mỗi đoạn thẳng được tô đúng một màu) và các cạnh của một tam giác bất kì tạo bởi 3 điểm trong chúng được tô bởi đúng hai màu.

(Đềđềnghịchọn HSG khu vực duyên hải và ĐBBB chuyên Biên Hòa - Hà Nam)

Bài 7. Cho tập hợp S = 1, 2, 3, ..., 2014. Tìm sốcách chọn ra từtập S m sốchẵn và n sốlẻ sao cho trong các sốvừa chọn, không có hai sốhơn kém nhau 1 đơn vị.

(Đềthi chọn đội tuyển tham dựVMO 2014 THPT chuyên Khoa Học TựNhiên, Câu 2 ngày 1)

Đến một lúc nào đó, bạn làm toán vì bạn thích chứkhông phải đểchứng tỏmột cái gì nữa.

Giáo sư Ngô Bảo Châu ThuVienDeThi.com