Đề thi giáo viên giỏi cấp trường môn Toán - Năm học 2015-2016 - Trường THCS Sơn Tây (Có đáp án)

PHÒNG GD & ĐT HƯƠNG SƠN

TRƯỜNG THCS SƠN TÂY

KÌ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn thi : Toán Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1:

1) Tính A = 1 1 1 1 1 ... 2.5 5.8 8.11 2009.2012 2012.2015     

2) Cho các số tự nhiên a, b; thỏa mãn: a2 + b2 chia hết cho 3. Chứng minh rằng: tích ab chia hết cho 9. Câu 2:

1) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện:

b

b a c a

a c b c

c b a         . Hãy tính

giá trị của biểu thức                    b c c a a b B 1 1 1 .

2) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.

Câu 3 : Cho biểu thức

2 2 2 2 2 2

2 2 2 : x x y y x xy y P x x xy xy y xy x y                 a) Rút gọn P;

b) Tìm giá trị của P với 2 1 1 x   và 1 1 2 y   .

Câu 4: a) Giải hệ phương trình

5x 4y 2 xy 60y 80x 1 xy

       

b) Giải phương trình 4 3 2 9x 15x 3x 3x 2 0      Câu 5: Cho tam giác ABC đều có AH là đường cao, N là điểm bất kì trên cạnh BC (N khác B, C). Từ N vẽ NE vuông góc AB, NF vuông góc AC (E thuộc AB, F thuộc AC).

a) Chứng minh: A, E, N, H, F cùng nằm trên một đường tròn. b) Gọi O là trung điểm của AN. Chứng minh các tam giác OEH và OFH là tam giác đều, từ đó suy ra OH EF  . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn EF khi N chạy trên cạnh BC, biết độ dài cạnh của tam giác ABC là a.

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI TRƯỜNG

NĂM HỌC : 2015 – 2016

Bài Đáp án tóm tắt Thang điểm

1

4,0 đ

1., A = 1 1 1 1 1 ... 2.5 5.8 8.11 2009.2012 2012.2015     

= 1 3 3 3 3 ( ... ) 3 2.5 5.8 8.11 2012.2015    

= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ... ) 3 2 5 5 8 8 11 2012 2015         = 1 1 1 ( ) 3 2 2015  = 671

4030

2. Đặt a = 3k+ r (r = 0; 1; 2); a2 = 9k2+6k + r2

suy ra a2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1.

tương tự b2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1.

Nếu a không chia hết cho 3, suy ra a2 chia cho 3 dư 1. Do a2 + b2 chia hết cho 3 suy ra b2 chia cho 3 dư 2 (loại).

Vậy a chia hết cho 3, từ a2+b2 chia hết cho 3 suy ra b chia hết cho 3; nên ab chia hết cho 9 (đpcm)

2,0 đ

2,0 đ

2

5,0 đ

+)Nếu a+b+c 0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:

b

b a c a

a c b c

c b a         = a b c b c a c a b

a b c 

 = 1

mà 1 1 1 a b c b c a c a b c a b       = 2 => a b b c c a c a b      =2

Vậy B = 1 1 1 ( )( )( ) b a c b a c a b c a c b a c b                   

= 8.

+)Nếu a+b+c = 0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:

b

b a c a

a c b c

c b a         = a b c b c a c a b

a b c 

 = 0

mà 1 1 1 a b c b c a c a b c a b       = 1=> a b b c c a c a b      =1

Vậy B = 1 1 1 ( )( )( ) b a c b a c a b c a c b a c b                   

=1

2) Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b, c

Ta có: 5 6 7 ; ; 5 6 7 18 18 18 18 3 18 a b c a b c x x x x x a b c            (1)

Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là : a’, b’, c’, ta có:

2,5 đ

2,5 đ

ThuVienDeThi.com