Bài tập về Phương trình nghiệm nguyên Đại số lớp 9 (Có đáp án)

1

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (a,b) | c Để giải phương trình ta tìm một nghiệm riêng (x0,y0) từ đó suy ra tất cả các

nghiệm của phương trình = +  ∈  = − 

0

0

x x bt (t Z) y y at

Ví dụ. Giải phương trình 12x + 37y = 2008 Giải Từ phương trình ta suy ra y ≡ 4 mod 12, ta chọn y0 = 4 ⇒ x0 = 155.Vậy nghiệm

của phương trình là = +  ∈  = − 

x 155 37t (t Z) y 4 12t

2. Phương trình bậc nhất ba ẩn ax + by + cz = d Để giải phương trình ta đưa về dạng ax + by = d – cz với (a,b) = 1 rồi chọn z = a tùy ý. Ví dụ. Giải phương trình 13x + 25y – 41z = 2009 Giải. Cho z = a ⇒ 13x + 25y = 2009 + 41a (*) phương trình 13x + 25y = 1 có một nghiệm là (2;–1) nên nghiệm của (*) là = + +  ∈  = − + − 

x 2(2009 41a) 25b (t Z) y (2009 41a) 13b ⇒ Nghiệm của phương trình ban đầu là

= + +   = − + − ∈  = 

x 2(2009 41a) 25b y (2009 41a) 13b (t Z)

z a

3. Phương trình ax + by + cxy = d

Ta đưa về dạng tích + + + = + b ab x(a cy) (a cy) d c c ⇔ (cx + b)(cy + a) = ab + cd

Từ đây ta có cx + b, cy + a là các ước của ab + cd Ví dụ. Giải phương trình 2x + 5y – 3xy = 1 Giải x(2 – 3y) – 5/3. (2 – 3y) = 1 – 10/3 ⇔ (3x – 5)(3y – 2) = 7 từ đây ta có các nghiệm là (4,1) và (2,3). 4. Một vài phương pháp thường sử dụng khi giải phương trình nghiệm nguyên 4.1. Đưa về tổng các bình phương Ví dụ. Giải phương trình x2 – 6xy + 14y2 – 10y – 16 = 0 Giải. phương trình ⇔ (x – 3y)2 + 5(y – 1)2 = 21

ThuVienDeThi.com

2

⇒ 5(y – 1)2 ≤ 21 ⇒ (y – 1)2 = 0, 1, 4 (y – 1)2 = 0 ⇒ (x – 3y)2 = 21 (loại) (y – 1)2 = 1 ⇒ (x – 3y)2 = 16 ta có các nghiệm (4,0),(–4,0), (10,2),(2,2) (y – 1)2 = 4 ⇒ ( x – 3y)2 = 1 ta có các nghiệm (10,3),(8,3),(–2,–1),(–4,–1) 4.2. Đưa về tích số bằng 0. Ví dụ. Giải phương trình 6x2 – 10xy + 4y2 + 3x – 2y – 32 = 0 Giải. Phương trình ⇔ (2x – 2y + 1)(3x – 2y) = 32 Do 2x – 2y + 1 là số lẻ nên 2x – 2y + 1 bằng ± 1 từ đây ta có các nghiệm (32,32), ( – 30, – 29) 4.3. Dùng các tính chất chia hết, đồng dư. Ví dụ. Giải phương trình 3x2 – 2008y2 = 2009 Giải. Nhận xét nếu x chẵn thì x2 ≡ 0 mod 4 còn nếu x lẻ thì x2 ≡ 1 mod 4 , tức là một số chính phương đồng dư với 0 hoặc 1 modulo 4. Ta thấy vế trái của phương trình luôn đồng dư với 0 hoặc 3 mod 4 còn vế phải đồng dư với 1 mod 4 như vậy phương trình vô nghiệm. Ví dụ. Giải phương trình x3 + 21y2 + 5 = 0 Giải. x3 ≡ 0, 1, – 1 mod 7 ⇒ x3 + 21y2 + 5 ≡ 5, 6, 4 mod 7 ⇒ phương trình vô nghiệm. Ví dụ. Giải phương trình 5x2 + 6x + 11 = y2 + 4y Giải. Phương trình ⇔ 4x2 + (x + 3)2 + 6 = (y + 2)2 Vế trái đồng dư 2, 3 mod 4, vế phải đồng dư 0, 1 mod 4 ⇒ phương trìnhvô nghiệm Ví dụ. Giải phương trình 6x = y2 + y – 2 Giải. 6x ≡ 1 mod 5 y2 + y – 2 = (y – 1)(y + 2) ≡ 0,3,4 mod 5 ⇒ phương trình vô nghiệm Ví dụ. Giải phương trình x2 = 2y2 – 8y + 3 Giải. Từ phương trình ta thấy x phải lẻ ⇒ x = 2k + 1 ⇒ (2k + 1)2 = 2y2 – 8y + 3 ⇒ 4k2 + 4k + 1 = 2y2 – 8y + 3 ⇒ 2k2 + 2k = y2 – 4y + 1 2k2 + 2k = 2k(k + 1) 4 ⇒ y2 + 1 4 (vô lý) ⇒ phương trình vô nghiệm. 4.4. Dùng tính chất < < + ⇒ = + n n n n n A X (A 2) X (A 1) Ví dụ . Giải phương trình x3 + x2 + x + 1 = y3

ThuVienDeThi.com