Đề thi Olympic huyện Toán lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Phòng GD & ĐT Đức Thọ

phòng gd - đt đức thọ

đề thi olympic huyện năm học 2011 - 2012

Môn toán lớp 9; Thời gian làm bài 120 phút Câu 1:

a) Rút gọn biểu thức: M=

b) Cho x= . Chứng minh x là một số tự nhiên

C©u 2: Cho hệ phương trình: (m là tham số).

a) Giải hệ khi m = . b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x > 0; y < 0. C©u 3:

a) Giải phương trình:

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

C©u 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Điểm M thuộc cung BC không chứa điểm A. Gọi điểm H và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ điểm M đến cạnh BC và AC, điểm I là chân đường vuông góc hạ từ điểm M đến đường thẳng AB. Chứng minh: a) Tứ giác BHMI nội tiếp.

b) Ba điểm H, I, K thẳng hàng

c)

C©u 5: Cho ba số a, b, c > 0 thỏa mãn a2+b2+c2= 1.

Chứng minh rằng

--------------Hết-----------------

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

Câu Đáp án Biểu điểm

a) M= =

(1 điểm)

(1 điểm)

Câu 1 (4 điểm)

b) §Æt a= ; b =

Tính được: a3+b3= ( )3 + ( )3=364

a.b = . = -1 x3 =(a+b)3 =a3+b3+3ab(a+b) x3 = 364 -3 x

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)

2 11 3 9

6 2 5 ) 6 20 49 )( 6 2 5 (



  

3 3 33125 182 33125 182   

  

 

 

1 - m 4y 2)x - (m

0 3)y (m - x

2

2 1 8 x x  

xyz

z xy y zx x yz M 3 2 1      

AB AC BC MI MK MH  

3 3 3

2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b c 3 a b b c c a 2abc         

2 11 3 9

6 2 5 ) 6 20 49 )( 6 2 5 (



  

2 11 3 9

) 2 3 ( ) 6 2 5 ( ) 2 3 ( 2 2 2



  

2 4 3 ( 3 2) ( 3 2) ( 3 2) ( 3 2) 1 9 3 11 2 9 3 11 2

        

3 33125 182  3 33125 182 

3 33125 182  3 33125 182 

3 33125 182  3 33125 182 



ThuVienDeThi.com

(x-7)(x2+7x+52) = 0 x=7 (1 điểm) a) Khi m = 3 ta có:

(2 điểm)

Câu 2 (5 điểm)

b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi

(

*)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi thỏa mãn x > 0; y < 0 khi

(1 điểm)

(1 điểm)

(1 điểm)

a) (1) ĐKXĐ

Với x = 5 TMĐK .Vậy phương trình có nghiệm x = 5

(0,5 điểm)

(1 điểm)

(0,5 điểm)

Câu 3 (4 điểm)

b) §K: x 1; y 2; z 3

=

Theo bất đẳng thức COSI ta có:

Suy ra: M

Dấu đẳng thức xẩy ra khi: x=2; y=4; z=6

Vậy: Max M = khi x=2; y=4; z=6 cho 0,25®

(0,5 điểm)

(1 điểm)

(0,5 điểm)

 

6 x = x - 6y 0 x = 6y x = 6y 5 x 4y 2 6y 4y 2 10y 2 1 y = 5

                       

1 1 ( 3) ( 2)( 3) 4 ( 1)( 2) 0 2 4 2

m m m m m m m m

               

3 x - (m 3)y 0 x = (m 3)y 2 (m - 2)x 4y m - 1 (m - 2)(m 3)y 4y m - 1 1

2

m x m

y m

                          

3 0 3 0 2 3 2 1 2 0 0 2

m

m m m m m

                    

2 1 8 x x   1 2 x 

2 2

8 8 8 (1) 2 1 8 5 5 2 1 (8 ) 18x+65=0 13( )

x x x x x x x x x x x loai

                             1 2 x 

  

xyz

z xy y zx x yz M 3 2 1       z z y y x x 3 2 1     

2 2

1 1 1 x x x     

2 3 .3 ; 2 2 .2 z z y y    



3 2

1 2 2

1 2 1 3 2 2 2 2     

z z y y x x

3 2

1 2 2

1 2 1  

ThuVienDeThi.com

K

H

I

O

B C

A

M

a) Ta có (gt)

Tứ giác BHMI nội tiếp.

(2 điểm)

b) Tứ giác BHMI nội tiếp (1) Tứ giác CKHM nội tiếp (2) (3) Từ (1), (2), (3) Mà H, I, K thẳng hàng

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)

Câu 4 (5 điểm)

c) Ta có

(1 điểm)

Câu 5 (2 điểm) Ta có: a2+b2+c2= 1 nên =

= +3

Ta lại có: a2+b2 2ab nên .

Tương tự:

VËy: +3 +3

Hay

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)

· · 0 90 BHM BIM   · · 0 180 BHM BIM    

· · BHI BMI   · · KHC KMC   · · BIM CKM BMI CMK     :

· · BHI KHC   · · · · · 0 0 180 180 BHK KHC BHK BHI IHK       

AB AC AI IB AK KC AI AK KC IB MI MK MI MI MK MK MI MK MK MI                     

0 HC HB BC MH MH MH          

2 2 2 2 2 2

1 1 1

a c c b b a     

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

a c

c b a c b

c b a b a

c b a



   

   

 

2 2

2

2 2

2

2 2

2

a c

b c b

a b a

c

    

 ab c b a

c

2

2

2 2

2

 

ac b a c

b bc a c b

a

2 ; 2

2

2 2

2 2

2 2

2

   

2 2

2

2 …