Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán 9 - Trường THCS Tự Cường

TRƯỜNG THCS TỰ CƯỜNG ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Môn Toán 9 Thời gian làm bài 180 phút

Bài 1( 1,5 điểm): Cho a, b, c thoả mãn: a b c b c a c a b c a b       

Tính giá trị biểu thức: P = 1 1 1 b c a a b c               

Bài 2( 1,5 điểm): Chứng minh rằng nếu và a + b + c = abc thì ta có 1 1 1 2 a b c   

2 2 2 1 1 1 2 a b c   

Bài 3( 1,5 điểm): Cho ba số x, y, z tuỳ ý. Chứng minh rằng

2 2 2 2

3 3 x y z x y z           Bài 4( 1,5 điểm): Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1

Chứng minh rằng: 16 a b abc

 

Bài 5( 2 điểm): Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các canh BC và CD ( hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm E và F. Chứng minh rằng:

2 2 2 1 1 1 AE AF AD  

Bài 6( 2 điểm): Cho ∆ ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác. Biết IA = 2 cm, IB = 3cm. Tính độ dài AB 5

Hướng dẫn giải:

Bài 1: Từ gt ta suy ra 2 2 2 a b c b c a c a b c a b           a b c b c a c a b c a b       

Xét hai trường hợp */ Nếu a + b + c = 0 a + b = -c b + c = - a c + a = -b 

Khi đó P = = = . . = = 1 1 1 1 b c a a b c               

a b b c c a a b c               

( ) c a  ( ) a b  ( ) b c  abc abc 

Nếu a + b + c 0 a = b = c P = 2.2.2 = 8   

Bài 2: Từ 1 1 1 2 a b c    

2 1 1 1 4 a b c         

 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 4 a b c ab bc ca            

theo giả thiết a + b + c = abc  2 2 2 1 1 1 2 4 a b c a b c abc            

 1 a b c abc   

(đpcm)  2 2 2 1 1 1 2 4 a b c      2 2 2 1 1 1 2 a b c   

Bào 3: Áp dụng BĐT Côsi ta có x2 + y2 2xy (1) 

ThuVienDeThi.com

y2 + z2 2yz (2)  z2 + x2 2zx (3)  Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x2 + y2 + z2 ) 2( xy + yz + zx )  2( x2 + y2 + z2 ) + ( x2 + y2 + z2 ) ( x2 + y2 + z2 ) + 2( xy + yz + zx )   3( x2 + y2 + z2 ) ( x + y + z )2 chia hai vế cho 9 ta được  

hay

2 2 2 2 ( ) 3 9 x y z x y z     

2 2 2 2

3 9 x y z x y z           Bài 4: Áp dụng BĐT Côsi x + y 2 ta có ( a + b) + c 2  xy  ( ) a b c  1 2 1 4( a + b)c nhân hai vế với a + b > 0 ta được:   ( ) a b c    A + b 4(a + b)2c mà ta chứng minh được (a + b)2 4ab   Do đó a + b 4(4ab)c hay a + b 16abc từ đây suy ra đpcm  

Bài 5: Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AF cắt DC tại G Chứng minh được ∆ ABR = ∆ ADG ( g.c.g)

AE = AG  Xét ∆ AGF vuông tại A có AD là đường cao nên ta có

do đó thay AG = AE ta được 2 2 2 1 1 1 AG AF AD  

(đpcm) 2 2 2 1 1 1 AE AF AD  

Bài 6: Kẻ AM AC M thuộc tia CI  Chứng minh được ∆ AMI cân tại M MI = AI = 2  5 Kẻ AH MI HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > 0 )   Xét ∆ AMC vuông tại A ta có AM2 = MH.MC

(2 )2 = x.(2x + 3)  5 2x2 + 3x – 30 = 0 ( 2x – 5)(x + 4) = 0   x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0)  Vậy MC = 8cm Ta có AC2 = MC2 – AM2 = 82 – (2 )2 = 64 – 20 = 44 5 AC = = 2 cm AB = 2 cm  44 11  11

F

E

G D C

B A

I

H

M

C B

A

ThuVienDeThi.com