Đề kiểm tra hoc sinh gioi lơp 9 Số 2 môn Toán

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 9 – SỐ 2 Năm học: 2015 – 2016 Môn: Toán

Bài 1(3 điểm): a) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x + xy + y = 9. b) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu chia hết 2 2 4a + 3ab 11b  cho 5 thì chia hết cho 5.  4 4 a b Bài 2(4 điểm): a) Cho . 3 2015 ( ) ( 12 31) f x x x   

Tính với . f(a) 3 3 a 16 8 5 16 8 5    

b) Cho a, b, x, y là các số thực thoả mãn: và . 2 2 1 x y  

4 4 1 x y a b a b   

Chứng minh rằng:

2016 2016

1008 1008 1008 2 ( ) x y a b a b    Bài 3 (4 điểm ): a) Giải phương trình: 2 2 3 5 2 3 12 14 x x x x      

b) Giải hệ phương trình sau :

2 2

2 4 2 2

2

x y

x xy

       Bài 4 (7 điểm ):

Cho đường tròn tâm O, đường kính BC cố định và một điểm A chuyển động trên nửa đường tròn (A khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường tròn tâm P đường kính HB và tâm Q đường kính HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F. a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC. b) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm I, A, K thẳng hàng.

c) Chứng minh tỷ số không đổi.

3

. . AH BC BE CF d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó. Bài 5 (2 điểm ):

Cho x;y;z dương sao cho 6 1 1 1       x z z y y x

Tìm giá trị lớn nhất của . y x z x z y z y x P 2 3 3

1 2 3 3

1 2 3 3

1

        

--------HẾT--------

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ 2

Môn Toán 9 Câu Nội dung Chia điểm I.a a.1,5 điểm - Từ (gt) ta có :(x + 1)(y + 1) = 10 ; vì 10 = 1.10 = 2.5 - Vì x,y N  - Lập bảng ta tìm được 4 nghiệm (x ;y) =(0 ;9) ;(9 ;0) ;(1 ;4) ;(4 ;1)

0,75

0,75

I.b b.1,5 điểm - Ta có :

  

 

       

  

 

 





2 2 2 2 2 2

2 2

2

4a 3ab 11b 5 5a 5ab 10b a 2ab b 5

a 2ab b 5

a b 5

( Vì 5 là số nguyên tố)   a b 5 - Ta có: (đpcm)           4 4 2 2 a b a b a b a b 5

0,5

0,25

0,5

0,25

Câu a(2 điểm)

3 3 16 8 5 16 8 5 a    

 3 3 3 3 32 3 (16 8 5)(16 8 5).( 16 8 5 16 8 5) a         3 32 3.( 4). a a     3 32 12 a a    3 12 32 0 a a     3 12 31 1 a a     2015 ( ) 1 1 f a  

0,5 0,5 0,5 0,5

II

Câu b(2 điểm)

Ta có: nên 1 ) ( 2 2 2  y x b a

y x b y a x

   

2 2 2 4 4 ) (

) 2 ( ) ( ) ( 4 2 2 4 4 4 y y x x ab y b a a x b a b       

0 2 2 2 4 2 4 2     y abx y a x b

0 ) ( 2 2 2    ay bx

Từ đó:        b a b a

y x b y a x 1 2 2 2 2 2016 2016

1008 1008 1008 1 ( ) x y a b a b    

2016 2016

1008 1008 1008 2 ( ) x y a b a b    KL:…

1

1

III Câu a(2 điểm) Giải phương trình: 2 2 3 5 2 3 12 14 x x x x      

ĐK: 1,5 2,5 x   + Sử dụng bất đẳng thức cô si hoặc Bu nhi a đánh giá VT 2  + Đánh giá VP 2 

Do đó: PT 2 2 3 5 2 2 2 2

VT x x x VP x

                  KL.

0,5

0,75

0,75

III Câu b(2 điểm)

ThuVienDeThi.com

Từ (gt) ta có :3x2-xy -2y2 =0 (x-y)(3x+2y)=0  x=y hoặc x = y 2 3 

- Nếu x = y thay vào (1) ta được x = 1 ;x = -1

- Nếu x = y Thay vào hệ ta được hệ vô nghiệm 2 3 

KL : Hệ phương trình có 2 nghiệm (x ;y) =(1 ;1) ;(-1 ;-1).

1

1

IV K

M

I

N

F

E

O Q P H

A

B C

IV Câu a(1 điểm) Xét tam giác vuông ABH có HE AB  AB.AE = AH2 (1)  Xét tam giác vuông ACH có HF AC  AC.AF = AH2 (2)  Từ (1) và (2) suy ra AE.AB = AF.AC.

0,5

0,5

IV Góc IAH bằng 2 lần góc BAH Góc KAH bằng 2 lần góc CAH Suy ra góc IAH + góc KAH =2( góc BAH + góc CAH) = 1800 Suy ra I, A và K thẳng hàng IV Câu c(2 điểm) Ta có: AH2 = BH.CH  AH4 = BH2 .CN2 = BE.BA.CF.CA =

BE.CF.AH.BC  AH3 = BE.CF.BC  = 1

3

. . AH BE CE BC IV Câu d(2 điểm)

SPQFE = . Mà FE PQ hay FE  SPQFE 1 1 ( ). . 2 4 PE FQ FE BC FE    2 BC 

Dấu đẳng thức xảy ra khi A là điểm chính giữa của nửa đường tròn

2

8 BC 

tâm O, đường kính BC. V (2 điểm)

HD Áp dụng BĐT + với a; b là các số dương. Ta có: 1 ?

1 ?≥

4 ?+ ?

ThuVienDeThi.com