Khảo sát học sinh giỏi - Chọn đội tuyển lớp 9 dự thi cấp huyện Môn thi Toán học

TRƯỜNG THCS

TIÊN PHONG

Khảo sát học sinh giỏi -chọn đội tuyển lớp 9 dự thi cấp huyện

Năm học : 2012 - 2013

Môn thi : Toán học (Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (3 điểm)

Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức (y + 2)x2 + 1 = y2 Câu 2: ( 5 điểm)

Cho x; y là các số dương.

a) Chứng minh: 2 x y y x  

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 x y xy M y x x y     Câu 3: (5 điểm)

a) Xác định x R để biểu thức: là số tự nhiên.  2

2

1 1

1 A x x

x x   

 b) Cho biểu thức:

y x 2 z P

xy x 2 yz y 1 zx 2 z 2          Biết x.y.z = 4, Tính . P Câu 4: ( 5 điểm)

Cho ABC có diện tích là S. Một đường thẳng xy chuyển động và luôn đi  qua điểm A. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và C trên xy.

a) Trong trường hợp BC cắt xy tại G, hãy chứng minh rằng: AG.(BE + CF) = 2S

b) Đường thẳng xy phải ở vị trí nào để tổng BE + CF có giá trị nhỏ nhất và xác định giá trị đó. Câu 5:(2 điểm)

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác Chứng minh rằng nếu a2 + b2 > 5 c2 thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất.

Hết

Họ và tên thí sinh: …………………………., số báo danh:……………….

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ThuVienDeThi.com

Hướng dẫn chấm Câu 1: (3 điểm)

Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức (y + 2)x2 + 1 = y2

Đáp án Thang điểm (y + 2)x2 + 1 = y2 (y +2)x2 = y2 - 1 (1)  Khi y = -2 phương trình vô nghiệm.

Khi y -2 ta có: x2 = 

2 y 1 y 2  

1



2 2 2 2 y 2 3 3 x x y 2 (2) y 2 y 2         

Vì ( x,y) là nghiệm nguyên nên:       3 y 2 Z y 2 là ước của 3 y 2 (tức là y+2 chỉ có thể nhận các giá trị  1; 3

1

-Với y+2 = 1=> y = -1 thì (2) có dạng: x2 = 0 x = 0 (TM)  -Với y+2 = -1=> y = -3 thì (2) có dạng: x2 = -8 (Loại) -Với y+2 = 3=> y = 1 thì (2) có dạng: x2 = 0 x = 0 (TM)  -Với y+2 = -3=> y = -5 thì (2) có dạng: x2 = -8 (loại) Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên là: x = 0; y= -1 và x = 0; y =1

1

Câu 2: ( 5 điểm)

Cho x; y là các số dương.

c) Chứng minh: 2 x y y x  

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 x y xy M y x x y    

Đáp án Thang điểm

a) Vì x > 0, y > 0 nên và  x 0 y  y 0 x Áp dụng bất đẳng thức: a+b dấu “ =” xảy ra a = b 2 ab 

0,5

0,5

Ta có:    x y x y 2 . 2 y x y x 0,5

Vậy:   x y 2 y x 0,5

Dấu “ =” xảy ra x2 = y2 x = y (vì x > 0, y > 0)   x y y x   0,5

b) Đặt a = , ta có M =  x y y x     1 3a a 1 a a 4 4 a 0,5

Vì a = nên   x y 2 y x  3a 3 4 2 0,5

Ta có:     a 1 a 1 1 2 . 2. 1 4 a 4 a 2 0,5

ThuVienDeThi.com

Do đó: M = ; M= a = 2 x = y     1 3a a 1 a a 4 4 a   3 5 1 2 2

5 2   0,5

Vậy giá trị nhỏ nhất của M = khi và chỉ khi x = y 5 2 0,5

Câu 3: (5 điểm)

c) Xác định x R để biểu thức: là số tự nhiên.  2

2

1 1

1 A x x

x x   



d) Cho biểu thức: y x 2 z P

xy x 2 yz y 1 zx 2 z 2          Biết x.y.z = 4, Tính . P

Đáp án

Than g điểm

a) Ta có: = 2

2

1 1

1 A x x

x x   



  

         

2 2 2 2

2 2 x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 2x x 1 x x 1 x

1

A là số tự nhiên -2x là số tự nhiên x = ( trong đó k Z và k 0)   k 2   1

b) Ta có: Điều kiện xác định: x,y,z 0, kết hợp với x.y.z =4 ta được:  X,y,z > 0 và  xyz 2 1

Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ 2 với ; thay 2 ở mẫu của hạng tử x thứ 3 bởi ta được: xyz 2

xy xy x 2 x 2 z P 1 xy x 2 xy x 2 z( x 2 xy) xy x 2

               => P = 1 vì P > 0

1

Câu 4: ( 5 điểm)

Cho ABC có diện tích là S. Một đường thẳng xy chuyển động và luôn đi  qua điểm A. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và C trên xy. a)Trong trường hợp BC cắt xy tại G, hãy chứng minh rằng: AG.(BE + CF) = 2S b)Đường thẳng xy phải ở vị trí nào để tổng BE + CF có giá trị nhỏ nhất và xác định giá trị đó.

Đáp án Thang điểm a) Ta có: SABC = S = SAGB + SACG

= BE.AG + CF.AG 1 2

1 2 2S = AG.(BE + CF) (đpcm)

1

b) + Nếu xy cắt cạnh BC tại G 2

A

B C

F

E

G

A

B C

F D

E K

ThuVienDeThi.com