Bài tập Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG

***************

Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C trên nửa đường tròn. Gọi D là một điểm trên đường kính AB, qua D kẻ đường vuông góc với AB cắt BC tại F, cắt AC tại E. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C cắt EF tại I. Chứng minh:

a) I là trung điểm của EF. b) Đường thẳng OC là tia tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam

giác ECF. HD: a) CI là tiếp tuyến của (O) nên CO CI  90o ICO  Lại có ACO là góc chắn nửa đường tròn nên 90o ACO  . Ta có ICB CAB  (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CB). Mà CAB DFB  (cùng phụ với FBA) CAB CFE   ( DFB  ).

  ICF CFE CAB    CIF là tam giác cân tại C CI=IF (hai cạnh

tương ứng). CM tương tự ta có CEI là tam giác cân tại I  CI=IE (hai cạnh tương ứng).

CI=IE=IF.

Mà CEI là tam giác vuông tại C CI là đường trung tuyến của tam giác hay I là trung điểm của EF (đpcm).

ThuVienDeThi.com

b) CEI là tam giác vuông tại C có I là trung điểm của cạnh huyền

EF nên O là tâm của đường tròn ngoại tiếp CEI. Mà OCIC (gt) nên OC là tiếp tuyến của đường tròn (I) hay OC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp CEI (đpcm).

Bài 2: Cho đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh Ax và Ay của góc xAy lần lượt ở B và C. Đường thẳng kẻ qua C song song với Ax cắt (O) tại D. AD cắt (O) tại M, CM cắt AB ở N. Chứng minh:

a) ANC đồng dạng với MNA. b) AN = BN.

HD: Ta có CD//Ax (gt)

ADC DCy  (hai góc so le trong). Mà ADC là góc nội tiếp chắn cung CM; DCy là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung CD

CD CM  (t/c). Lại có ACM là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung CM

ACM DMC  . ACM NMA  ( DMC  ). ANC MNA(g-g) (đpcm).

Bài 3: Cho đường tròn (O) và điểm C nằm bên ngoài đường tròn (O). Qua C kẻ hai tiếp tuyến CA và CB với (O). Vẽ đường tròn (O’) đi qua C và tiếp xúc với AB tại B cắt (O) ở M. Chứng minh rằng AM đi qua trung điểm của BC.

Bài 4: Cho (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến chung ngoài MN (M thuộc (O), N thuộc (O’); M, A, N cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ OO’) cắt đường nối tâm OO’ tại I. Chứng minh AI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.

ThuVienDeThi.com

Bài 5: Cho (O;R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia CO lấy điểm S. SA cắt đường tròn tại M, tiếp tuyến của đường tròn ở M cắt CD tại P, BM cắt CD tại T. Chứng minh:

a) PT.MA = MT.OA. b) PS = PM = PT. c) Biết PM = R, tính TA.SM theo R.

HD: a) Ta có: OAM CMT  (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB).

OAM AMO  (OAM cân tại O). OTB MAO  (cùng phụ với BOT ). AMO CTM  ( OTB  ). OMA PMT(g-g).

OA MA PM MT  (các cặp cạnh tương

ứng) Hay PM.MA=MT.OA (đpcm).

b)PMT là tam giác cân đỉnh P (

PMC PTM  ). Chứng minh tương tự ta có SPC cân tại P.

PS=PM=PT (đpcm).

c)CD là đường trung trực của AB mà T thuộc AB nên TA=TB

TAB TBA  (t/c)

Ta có OAT MST(g-g) OA AT MS ST  hay OA.ST=AT.MS

AT.MS=OA.2.PM=2R2.

Bài 6: Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ở A, qua T trên đường thẳng d kẻ tiếp tuyến TM với

ThuVienDeThi.com