Đề khảo sát học sinh giỏi lớp 9 năm học 2015 2016 Môn Toán

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NAM TRỰC NĂM HỌC 2015 – 2016

MÔN TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút)

Đề thi gồm 01 trang

Bài 1: (4,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức với x > 0,   2 2 x 1 x x 2x x P

x x 1 x x 1

        

x 1 

2. Cho . Tính giá trị của biểu thức A = 7(x2 – 4x)100 + (x2 – 4x)50 + 2016 x + 3 = 2

Bài 2: (4,0 điểm)

1. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình 2x + 3 = y2

2. Giải phương trình 2 2 12 5 3 5 x x x     

Bài 3: (3,0 điểm)

Giải hệ phương trình 2

2

2 4

x y z

xy z

       

Bài 4: (2,0 điểm)

Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

2 2 2 x y z y z z x x y     

Bài 5: (7,0 điểm)

1. Cho đường tròn tâm O và đường thẳng d cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B, C (d

không đi qua O). Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A nằm ngoài đường tròn tâm O). Kẻ AM

và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt

MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.

a. Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn và AK. AI = AM2

b. Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP

tại E. Chứng minh P là trung điểm ME.

2. Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 1m, trong hình vuông đó đặt 55 đường tròn, mỗi

đường tròn có đường kính m. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng giao với ít nhất bảy 1 9 đường tròn.

------Hết------

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM

Bài 1: (4,0 đ)

Câu Nội dung Điểm

1.

(2,0đ)

  2 2 x 1 x x 2x x P

x x 1 x x 1

              

   

3 x x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 1 P

x x 1 x x 1

x x 1 2 x 1 2 x 1

x x 1

         

     

  

1,0

1,0

2.

(2,0đ)

=> x + 3 = 2 2 2 3 ( 2) 3      x x

2 4 1 0 x x    2 4 1 x x    A = 7(-1)100 +(-1)50 +2016 A = 2024

1,0

1,0

Bài 2: (4,0đ)

Câu Nội dung Điểm

1.

(2,0đ)

Với x = 0 thì y = 2 hoặc y = -2

Với x= 1 thì y2 = 5 (loại)

Với x 2 thì VT chia 4 dư 3, 

Vì VT là số tự nhiên lẻ => y là số tự nhiên lẻ

=> VP chia 4 dư 1 => vô lí.

Vậy nghiệm tự nhiên của phương trình là (x,y) =(0;2)

0,5

0,5

0,5

0,25

0,25

Để phương trình có nghiệm thì : 2 2 5 12 5 3 5 0 3 x x x x         0,25

 

 

2 2 2 2

2 2

2 2

4 4 12 4 3 6 5 3 3 2 12 4 5 3

2 1 2 3 0 2 12 4 5 3

x x x x x x x x

x x x x x x

                

                  

0,5

0,5

Dễ dàng chứng minh được

2 2 2 2 5 3 0, 3 12 4 5 3

x x x x x

         

0,5

2.

(2,0đ)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2} 0,25

ThuVienDeThi.com

Bài 3: (3,0đ)

Câu Nội dung Điểm

3,0đ 2

2

2 4

x y z

xy z

       

2 2

2 4

z x y

xy z

       

      2 2 2 2 2 (1)

2 2 4 2 2 0 (2)

z x y z x y

xy x y x y

                          Từ phương trình 2 tìm được x=2 và y=2 Thay vào phương trình 1 tìm được z = -2

1,0

1,0

1,0

Bài 4: (2,0đ)

Câu Nội dung Điểm

2,0đ Vì x, y, z > 0 ta có:

Áp dụng BĐT Côsi đối với 2 số dương

2x y z  và 4 y z 

ta được:

2 2 2 . 2. 4 4 2 x y z x y z x x y z y z         (1) . Tương tự ta có:

2

2

(2) 4

(3) 4

y x z y x z z x y z x y

   

    Cộng (1) + (2) + (3) ta được:

 

2 2 2 x y z x y z P y z z x x y 2

x y z P x y z 1 2

                      

Dấu “=” xảy ra

2 3 x y z    

Vậy min P = 1

2 3 x y z    

0,5

0,5

0,5

0,25

02,5

ThuVienDeThi.com