Đề thi khảo sát học sinh giỏi - Lần 1 năm học 2016 - 2017 môn thi Toán 9

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NGA SƠN

TRƯỜNG THCS NGA THIỆN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI - LẦN 1

Năm học: 2016 - 2017

Môn thi: Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm có 01 trang, 06 câu)

ĐỀ BÀI

Câu 1 (4,0 điểm) 1) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:

A = . 2 3

1 12 10 2

3 ) 2 )( 3 4 ( 2

3 ) 6 ( 6

         

  

x x x x x x x

x x x

Điều kiện x , x 4; x 9 ; x 1 0    

2) Rút gọn biểu thức: B =

3 2 2

3 2

3 2 2

3 2

 

   



Câu 2: (3,0 điểm). Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d). a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. b) Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Câu 3: (4,0 điểm)

a. Với Tính giá trị của biểu thức: B = .  

3 5 2 17 5 38

. 5 14 6 5 x

  

   

2015 3 2 3 8 2 x x  

b. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > 1 sao cho (3x+1) y đồng thời (3y + 1) x.   Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) SABC = AB.BC.sinB và AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC. 1 2

b) tanB.tanC = . AD HD c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF.

d) . HB.HC HC.HA HA.HB 1 AB.AC BC.BA CA.CB   

Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: . 2 2 2 2 2 2 x y y z z x 2015      

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

2 2 2 x y z T y z z x x y      

Câu 6:(2,0 điểm) Cho tam giác ABC, I là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Các tia AI, BI, CI cắt BC, CA, AB lần lượt tai M, N, K. Chứng minh rằng:

3 2 IA IB IC IM IN IK   

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và Tên thí sinh:.......................................................Lớp:......................

SBD:................Phòng...................

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NGA SƠN

TRƯỜNG THCS NGA THIỆN

HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI -LẦN 1

Môn thi: Toán 9 Thời gian làm bài : 150 phút

Ngày 29/ 10/ 2016

Bài Câu Tóm tắt cách giải Điểm

1)

2điểm

6x (x 6) x 3 3 1 A

2(x 4 x 3)(2 x) 2x 10 x 12 3 x x 2

6x (x 6) x 3 3 1 A

2(2 x)( x 3)( x 1) 2( x 3)(2 x) (2 x)( x

             

            

Do x 0; x 1; x 4; x 9    

A =

) 2 )( 3 )( 1 ( 2

) 3 ( 2 )1 ( 3 3 ) 6 ( 6

x x x

x x x x x

  

      

A =

) 2 )( 3 )( 1 ( 2

6 2 3 3 3 6 6

x x x

x x x x x x

  

      

A =

) 2 )( 3 )( 1 ( 2

) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( 2 ) 6 2 (

x x x

x x x x x x x

  

      

A = = => ĐPCM ) 2 )( 3 )( 1 ( 2

) 2 )( 3 )( 1 (

x x x

x x x

  

  

2 1

0,75

0,75

0,5

1 (4đ)

2)

2điểm

B 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 2 4 2 3 2 4 2 3

B (2 3)(3 3) (3 3)(2 3) 3 3 3 6 2 (3 3)(3 3) B 1 B 2 2

             

           

  

1,0

0,75

0,25

2 (3đ)

a. (1,5đ)

Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d) đi qua điểm cố định N(xo,yo) là: (m – 2)xo + (m – 1)yo = 1, với mọi m mxo – 2xo + myo – yo – 1 = 0, với mọi m 

(xo + yo)m – (2xo + yo + 1) = 0 với mọi m 

   



     

  

 

1

1

0 1 2

0

o

o

o o

o o

y

x

y x

y x

Vậy các đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định N (- 1; 1).

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

b. (1,5đ)

+ Với m = 2, ta có đường thẳng y = 1 do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1)

ThuVienDeThi.com