Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2016 - 2017 môn Toán 9

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

TIỀN HẢI

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 -2017

m¤N: TOÁN 9 (Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (4,0 điểm)

1. Cho biểu thức 1 1 1 A : x x x 1 x 2 x 1

æ ö÷ ç = + ÷ ç ÷ çè ø - - - +

.

a) Rút gọn A. b) Tìm x để A = .

2. Chứng minh rằng: Nếu thì 2 4 2 2 2 4 3 3 x x y y x y a    

2 2 2 3 3 3 x y a  

Bài 2 (4,0 điểm)

1. Cho hệ phương trình Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) thỏa mãn x + 5y = 0. 2. Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn:

là số hữu tỉ và a2 + b2 + c2 là số nguyên tố a b 2 b c 2 



Bài 3 (4,0 điểm)

1. Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + m + 1 (m là tham số) a) Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. b) Trên parabol (P) lấy 3 điểm phân biệt: A(a, a2), B(b, b2), C(c, c2). Biết rằng a2 – b = b2 – c = c2 – a. Tính giá trị của biểu thức: M = (a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1).

2. Giải phương trình:

2 x x 1 8x 1 - - = +

Bài 4 (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh CD lấy điểm M khác C và D. Đường tròn đường kính AM cắt cạnh AB tại điểm N khác A. Đường tròn đường kính CD cắt đường tròn đường kính AM tại E khác D.

a) Chứng minh rằng ba điểm C, E, N thẳng hàng. b) Gọi giao điểm của đoạn thẳng MN với DE là H, đoạn thẳng NM cắt đường tròn đường kính CD tại K. Chứng minh rằng MK2 = MH.MN. c) Gọi F là giao điểm của DE với cạnh BC. Chứng minh rằng MF AC.

Bài 5 (2,0 điểm)

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm.

Họ và tên thí sinh: .................................................. Số báo danh: ....................Phòng.............

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9

BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM ĐKXĐ: x 0,x 1 > ¹ 0.5

( )

( )

2 x 1 1 1 A . 1 x 1 x x 1

é ù - ê ú = + ê ú ê ú - - ê ú ë û

0.5 a

( )( )

2 1 x A . x 1 x x 1

+ = - -

x 1 A

x - = Û 0.5+0.5

A = Þ x 1 3 2 x - = 0.25

2x 3 x 2 0 Þ - - = 0.25 ( )( ) 2 x 1 x 2 0 Û + - = 0.25

b

Û x = 4 (tmđkxđ) 0.25

Đặt

3 2 3

2 3 3

x b 0 x b y c y c 0

             

0.25

Ta có:

3 2 3 2 b b c c bc a    

Bình phương hai vế được:

3 2 3 2 2 2 2 2 b b c c bc 2 b c (b c) a      

0.25

Biến đổi ta được:

3 2 (b c) a   0.25

1 (4đ)

c

hay (đpcm) 2 3 a b c   

2 2 2 3 3 3 a x y   0.25 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y m 1 x m 1 x m 1 y 2

x m 1 m 1 x m 1 m 1 m 1 x y m 1

ì ì = + - + ï + - = ï ï ï ï Û í í ï ï é ù + - + - + = + + - = + ï ï î ë û ïî

0.5

( ) ( )

2 2 y m 1 x m 1

m x m 1 (*)

ì = + - + ïï Û íï = + ïî

0.5

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất m ¹ 0 Þ 0.5

Với m khác 0 hpt có nghiệm duy nhất

2

2 2 m 1 m 1 (x,y) ; m m

æ ö + + ÷ ç = ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

0.5

a

Để x + 5y = 0 thì m2 + 1 + 5(m + 1) = 0 m = –2, m = –3 0.5

Đặt (x, y Z, xy  0) ay – bx = (by – cx) (*) a b 2 x y b c 2 - = -  Þ 2 0.25

Vì a, b, c, x, y Z ay – bx Z (by – cx) Z  Þ  Þ 2 

Mà I nên từ (*) 2  ay bx 0 ay bx by cx 0 cx by

ì ì - = = ï ï ï ï Þ Þ í í ï ï - = = ï ï î î

0.25

acxy = b2xy ac = b2 (vì xy ≠ 0) Þ Þ 0.25 a2 + b2 + c2 = (a + c)2 – 2ac + b2 = (a + c)2 – b2 = (a+c – b)(a+c+b) 0.25 Vì a2 + b2 + c2 là số nguyên tố và a+c – b<a+c+b

a+b – c = 1 a + b + c = a2 + b2 + c2 (1) Þ Þ

Mà a, b, c nguyên dương nên a a2, b b2, c c2 (2)   

0.25

2

(4đ)

b

Từ (1) và (2) a = b = c = 1, thử lại: Thỏa mãn, kết luận Þ 0.25 3 a Với m = 1 ta có (d): y = x + 2 0.5

ThuVienDeThi.com