Đề thi chọn học sinh thi giỏi huyện năm 2016 môn thi Toán 9

1

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH THI GIỎI HUYỆN NĂM 2016

Môn thi: TOÁN 9 - Bài 6 . Thời gian làm bài : 120 phút.

Đề ra : Bài 1: Cho biểu thức :

A = - -

a, Rút gọn A c, Tìm các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên d, Tìm giá trị của x để biểu thức M = đạt Min .

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất (min) của biểu thức sau :

K = x1420 + x404 + x55 + x50 + x35 +x25 +x20 + x7 + 2016 ; ( x>0) X Bài 3 : Cho biết : . (*) 2 2 ( 5)( 5) 5 x x y y      Tính giá trị của biểu thức: Q =

Bài 4 : cho các số thực : a1 , a2 ,a3 , … , a2016 . thỏa mãn đẳng thức : a1 + a2 + a3 + … + a2016 = 1. CMR : a12 + a22 + a32 + … +a22016 . 

Bài 5 : Cho x,y,z không âm thỏa mãn : x + y + z =9 . Tính giá trị nhỏ nhất ( min ) của biểu thức : B = xy + yz +zx . Bài 6 : Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. Bài 7 : Gọi a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác cho biết : (a+b)(b+c )(a+c) = 8abc . CMR : tam giác đã cho là đều . Câu 8 : Tìm một đa thức bậc ba cho biết : P(0)=10 ; P(1)= 12 ; P(2) = 4; P(3) = 1 . Câu 9 : Tìm đa thức bậc 3 P(x) cho biết khi chia P(x) cho các đa thức : (x-1); (x-2) ; (x-3) đều được dư là 6 và P(-1) = -18 . Câu 10 : Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.

a) Chứng minh : ∆OEM vuông cân. b) Chứng minh : ME // BN. c) Từ C kẻ CH BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.  

GVBM : Xuân Hà

ThuVienDeThi.com

2

Hướng dẫn giải : 1 . tự giải . 2 . Thật vậy ta phân tích k thành tổng của 2016 số với cùng mẫu số x( với x > 0 ) , rồi Áp dụng Bất Đẳng Thức Cô Si cho 2016 số không âm ta có :

3. Từ (*) Ta lần lượt nhân hai vế với lượng liên hợp của hằng đẳng hiệu hai bình phương ta có hệ pt sau : -5(y + ) =5( x - ) (1) 2 5 y  2 5 x 

-5(x + ) = 5 (y - ) (2) 2 5 x  2 5 y  Cộng (1) và (2) theo vế ta có :10 (x + y) = 0  (x + y ) = 0 . (**) Từ ( ** ) và Q ta có : giải tương tự như dưới đây Q=

2009 2009 2008 2007 2006 2 2008 2008 2008 ( )( ... ) 0.( ... ) 0 x y x y x x y x y y x y           Giá trị : Q = 0 tại : x = - y .

4 . Áp dụng bất thức Bunhiacopxki cho 2016 số ta có điều cần chứng minh .

5 . Áp dụng bất đẳng thức Bu Nhiacôpxky ta có : B2 = (xy + yz + zx )2 (x2 + y2 + z2 )(x2 + y2 +z2 ) .  Mà : (x2 + y2 + z2 ) = (x +y + z )2 -2xy – 2yz – 2zx 0 .(***)  B2 (x2 + y2 + z2 )(x2 + y2 +z2 ) 

   

2 2 2 2

2 2 2 ( ) 2 2 2 9 2( )

81 2( ) 81 2( ) 81 2( ) 2( ) 81 81 3( ) 81 27. 3

x y z xy yz zx xy yz zx

xy yz zx B xy yz zx B xy yz zx B xy yz zx

xy yz zx B xy yz zx

                                   

         

 B (min) = 27 Khi và chỉ khi : = = và x + y + z = 9 x = y = z = 3 ./.

6 . Gọi hai số lần lượt là a2 và (a+1)2

Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1

= (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + 1 = ( a2 + a + 1)2 là một số chính

phương lẻ

vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn a2 + a + 1 là số lẻGọi hai số lần lượt là a2 và (a+1)2 

Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1

= (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + 1 = ( a2 + a + 1)2 là một số chính

phương lẻ vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn a2 + a + 1 là số lẻ . 

7 . Từ giả thiết ta có : (a+b)(b+c )(a+c) = 8abc

( ca2 -2abc+cb2 )+( ab2 -2abc c2a) +( bc2 - 2abc +a2b)= 0

 C(a-b)2 +a(b-c)2 +b( c- a)2 = 0 => => a=b=c => tam giác đều . {

a - b = 0 b - c = 0 c - a = 0)

ThuVienDeThi.com