Đề thi chọn học sinh thi giỏi huyện năm học 2016 môn thi Toán 9

1

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH THI GIỎI HUYỆN NĂM 2016

Môn thi: TOÁN 9 - Bài 4 Thời gian làm bài : 120 phút.

Đề ra : Câu 1. (6đ)

Cho biểu thức

1

1 : 1

1 1 1

2 2 2   

  

  





   

x x x x

x x

x x P

a. Rút gọn biểu thức b. Tìm giá trị của x để P có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó c. Tính gia trị của P khi 5 3  x Câu 2. (4đ) a. Cho hai số x và y là hai số dương và x3+y3= x-y. Chứng minh rằng : x2+ y2<1

b, Chứng minh rằng , nếu 2 1 1 1    c b a và a + b + c = abc

thì ta có: 2 1 1 1

2 2 2    c b a c . Giải phương trình: 2 1 2 1 2       x x x x

Câu 3. (3 điểm).

Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng: , , 0 a b c  3 a b c   

2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 a b c b c a         

Câu 4. (6 điểm).

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với

đường tròn (A, B là các tiếp điểm), cát tuyến MPQ không đi qua O (P nằm giữa M,

Q). Gọi H là giao điểm của OM và AB.

a. Chứng minh: A A HPO HQO 

b. Tìm điểm E thuộc cung lớn AB sao cho tổng có giá trị nhỏ nhất. 1 1 EA EB 

Câu 5 (5đ)

1. Cho hình thang vuông ABCD ( 0 90 ˆ ˆ  D A ), O là trung điểm của AD và góc BOC=90o . Gọi E là giao điểm của BO và CD. a. Chứng minh tam giác BCE cân tại C b. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AD 2. Cho tam giác ABC với hai phân giác BD và CE. Gọi M là một điểm trên đoạn thẳng DE. Chứng minh rằng khoảng cách đến BC bằng tổng khoảng cách từ M đến AB và AC.

GVBM : Xuân Hà

ThuVienDeThi.com

2

ĐÁP ÁN

1a. ĐKXĐ: 1 ;0   x x

Rút gon biểu thức 2    x x P

1b. Biến đổi         x x P ; 4 9 ) 4 9 ( ) 2 1 ( 2 ĐKXĐ

Suy ra GTNN của P là -9/4 khi x=1/4

1c. Khi .... 2

1 5 5 3        P x x

2a. Ta có : y+y3= x(1-x2)>0 ; (vì x;y>0) Suy ra 0<x2<1 hay 0<x<1 Mà x3+y3= x-y>0 (vì x;y>0) Suy ra 0<y<x<1 Áp dung bất đẳng thức Bunhiakopsky ta có:

(Vì

1

)1 1 1

1 ) )( ( ) ( ) (

2 2

2 2 2 2

2 2 3 3 2 3 3 2 2 2

  

     

        

y x

y y x x

y x y x y x y y x x y x

2b. Do :     2 1 1 1

c b a 4 ) 1 1 1 ( 2 1 1 1

2 2 2       ca bc ab c b a (1)

Và a + b + c = abc 1 1 1 1     ca bc ab Từ (1) và (2) 2 1 1 1

2 2 2     c b a 2c . ĐKXĐ : 1  x

2 1 2 1 2       x x x x

2 1 1 1 1

2 1 1 1 1

2 )1 1 ( )1 1 ( 2 2

      

      

      

x x

x x

x x

Ta có 2 1 1 1 1 1 1 1 1             x x x x

Dấu “=” xẩy ra khi 0 ) 1 1 )( 1 1 (      x x 2  x Kết hợp vơi ĐKXĐ 2 1    x

3 . Sử dụng bất đẳng thức Cô si

Ta có: (1)     2 2

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 b a b a a b ab a a a b b b            

Tương tự: (1) và (3) 2

1 1 1 2 b c bc b c

     2

1 1 1 2 c a ca c a

    

Từ (1); (2) và (3) suy ra: 2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 2 2 a b c a b c ab bc ca b c a               Mặt khác hay 2 2 2 a b c ab bc ca       

2 3( ) 9 ab bc ca a b c      

Do đó: = 2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 2 2 a b c a b c ab bc ca b c a              

3 9 3 3 2 6  

ThuVienDeThi.com