Đề kiểm tra chọn đội tuyển môn toán năm học 2005 - 2006

đề kiểm tra chọn đội tuyển môn toán

Năm học 2005-2006 Thời gian làm bài 90 phút

Câu I. Tìm tập hợp số hữu tỷ x để là số hữu tỷ ? 4 2  x

Câu II. x, y, z là các số thực dương thoả mãn . Hãy tìm giá trị 1 9 4 1    z y x nhỏ nhất của A = x + y + z

Câu III. Giải phương trình: 81x4 + 5 = 3 3 3 12 102 x x 

Câu IV. Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a, kí hiệu: . Tìm x thoả mãn:  a

=      8

6 5x

5

7 15  x

Câu V. Cho hình vuông ABCD, trên đường chéo AC lấy điểm M; I, Q là trung điểm của AM và MC. Qua M vẽ đường thẳng song song với AD, đường thẳng này cắt AB tại N, cắt CD tại K. Chứng minh: IB.AK = DQ.CN

ThuVienDeThi.com

Đáp án Câu I. (3 điểm) Đặt (x; t Q; x + t 0); t x x   4 2  

Ta có: x2 +4 = (x + t)2 x = vì x + t > 0 nên + t 0  t

t 2 4 2 

t

t 2 4 2  

0 t > 0; Vậy x = ( t > 0; t Q)  t

t 2 4 2    t

t 2 4 2  

Câu II. (4 điểm)

Ta có: z z y y x x . 9 . 4 . 1 9 4 1     

áp dụng BĐT Bunhiacèpki ta có:

. 36 ) )( 9 4 1 ( ) 9 4 1 ( 2            z y x z y x z y x Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:

6 1 36

6 3 2 1 3 2 1 : 9 : 4 : 1    

        z y x z y x z z y y x x => x = 6; y = 12; z = 18 Câu III. (4 điểm) Nhận xét: 81x4 + 5 > 0 => 0 0 )1 9 ( 12 3 0 12 108 3 3 2 3 3        x x x x x áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương: 6x; 9x2 + 1; 2 ta có: 3 = 9x2 + 6x + 3 => 3 3 12 102 x x  3 2 2 ). 1 9 .( 6 3  x x  81x4 + 5 9x2 + 6x + 3 81x4 - 9x2- 6x + 3 0    (3x-1)2(9x2 + 6x + 2) 0 (3x-1)2 0    

Vì 9x2 + 6x + 2 > 0 x => x = Thoả mãn  3 1

Câu IV. (4 điểm) Giả sử x0 thoả mãn đ/k bài toán, ta có:

       1 5

7 15 8

6 5 5

7 15 0 0 0 x x x

5

2 15 8

6 5 5

7 15 0 0 0      x x x

=> 120x0 - 56 25 + 30x0 và 25 + 30x0 < 120x0 - 16  => 90x0 - 81 0 và 0 < 90x0 - 41  => 6(15x0 - 7) 39 và -1 < 6(15x0 - 7) 

=> và 30 39 5

7 15 0   x

5

7 15 30

1 0    x

Hay ; Vì nguyên => 5

7 15 30

1 0    x 30

39

5

7 15 0  x

= 0 => x0 = và = 1 => x0 = 5

7 15 0  x

15

7

5

7 15 0  x

5 4

ThuVienDeThi.com

Qua M vẽ đường thẳng NK cắt BC và DA tại  E và F. Ta có:

; NIB = NMC = 1350 MC

NB MC ME NM

IN   

2

1

=> INB NMC =>   )1( 2

1  NC

IB

; QKD = KMA = 1350 MA KD MA MF MK QK   

2

1

=> QKD KMA =>   ) 2 ( 2

1  KA QD

Từ (1) và (2) => => IB.KA = QD.NC ( Đpcm)  NC

IB

KA QD

A D

B C

M K N

E

F

Q

I

ThuVienDeThi.com