Đề thi chon hoc sinh giỏi THCS năm hoc 2006 - 2007 môn Toán lớp 9

PHOÌNG GIẠO DỦC TP. HUÃÚ

KYÌ THI CHOÜN HOÜC SINH GIOÍI THCS NÀM HOÜC 2006 - 2007

MÄN TOẠN - LÅÏP 9 Thåìi gian: 120 phụt (khäng kãø thåìi gian giao âãư)

Baìi 1 (2 âiãøm): Cho biãøu thỉïc x x xy y x y A 3 10 31 . 3 10 3 2 3    

a) Phán têch A thaình nhán tỉí.

b) Tçm càûp säú x, y thoaí maỵn âiãưu kiãûn y - x = âäưng thåìi A = 0 4 3

Baìi 2 (2 âiãøm):

Cho biãøu thỉïc M = x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 våïi x, y, z, t laì cạc säú nguyãn khäng ám. Tçm cạc giạ trë cuía x, y, z, t âãø biãøu thỉïc M cọ giạ trë nhoí nháút thoaí maỵn âiãưu kiãûn:

2x2 - 2y2 + 5t2 = 30 x2 + 8y2 + 9z2 = 168 Baìi 3 (2 âiãøm):

Cho haìm säú f(x) = (x  R) 2 x 2 x

1 x 2 x

2

2

 

 

a) Chỉïng minh ràịng våïi hai giạ trë x1 , x2 tuyì ỵ cuía x sao cho 1≤ x1< x2 thç f(x1) < f(x2)

b) Våïi giạ trë naìo cuía x thç 4 3 ) x ( f 2 1  

Baìi 4 (4 âiãøm):

Cho tam giạc cán ABC (AB = AC), âỉåìng cao AH. Trãn cảnh BC láúy 2 âiãøm M vaì E sao

cho ME = BC (BM < BE). Qua M keí âỉåìng thàĩng vuäng gọc våïi BC càõt AB tải D. Qua E keí 2 1

âỉåìng thàĩng vuäng gọc våïi DE càõt âỉåìng thàĩng AH tải N.

a) Chỉïng minh: BM . BH = MD . HN b) Chỉïng toí N laì mäüt âiãøm cäú âënh. c) Biãút AB = 5 cm, BC = 6 cm. Tênh khoaíng cạch giỉỵa tám âỉåìng troìn näüi tiãúp vaì tám âỉåìng troìn ngoải tiãúp cuía tam giạc ABC.

HỈÅÏNG DÁÙN CHÁÚM ÂÃƯ THI HOÜC SINH GIOÍI NÀM 2006-2007

Män: Toạn - Låïp 9 Baìi 1(2 âiãøm) a) (1 âiãøm)

(0,5 â) x 3 x 10 xy 10 xy 21 y x 3 7 y x 3 3 y 3 A

2 2 3          2 3 . 3 7 3 10 y x y xy x    

ThuVienDeThi.com

(0,5 â)    2 3 . 3 2 3 5 3 10 60 y x y xy xy x      

    3 . 3 2 . 3 5 y x y x y x    

b) (1 âiãøm)

hồûc hồûc x 3 y 0 A   

3

x 2 y 

3

x 5 y 

* x 3 y  0 4 3 x 3 x    0 2

3 x

2

  

  

 

4 3 x 

3 4 y x   4 3 x y   4 3 x y   2 3 y 

* 3

x 2 y  0 4 3 3

x 2 x   

2 1 5 0 12 3 x         

3 4 y x   4 3 x y   4 3 x y  

* x 3 5 y  0 4 3 3

x 5 x    0 12 16 3 2

5 x

2

   

  

 

3 4 y x   4 3 x y   4 3 x y  

3 2

9 x 

3 2

1 x  4 27 x  12

1 x 

4 3 x y   4 3 x y   2 15 y  6 5 y 

Váûy cọ 3 càûp säú thoía maỵn âiãưu kiãûn A = 0 vaì laì: 3 4 y x  

( ; ) ; (x = ; y = ) vaì ( ; ) 4 3 x  2 3 y  27

4

15

2 12

1 x  6 5 y 

Baìi 2 (2 âiãøm)

Tỉì 2x2 - 2y2 + 5t2 = 30 vaì x2 + 8y2 + 9z2 = 168 Suy ra: 3x2 + 6y2 + 9z2 + 5t2 = 198 3(x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 ) = 198 + 7t2

3M = 198 + 7t2

66 t 3 7 66 M

2   

Giạ trë nhoí nháút cuía M laì 66 khi t = 0 Do âọ: 2x2 - 2y2 = 30 (1) vaì x2 + 8y2 + 9z2 = 168 (2) Tỉì (1)  (x + y)(x - y ) = 15 Vç x, y laì cạc säú nguyãn khäng ám, nãn x + y = 15 vaì x - y = 1 (3) Hồûc: x + y = 5 vaì x - y = 3 (4) Tỉì (3)  x = 8, y = 7, cạc giạ trë naìy khäng thoía (2) Tỉì (4)  x = 4, y = 1. Thay vaìo (2) ta cọ: 16 + 8 + 9z2 = 168 9z2 = 144 z2 = 16

  

 

Hãû phỉång trçnh vä nghiãûm

 

 hồû  hồû

ThuVienDeThi.com

z = 4 (z = - 4 loải)

Váûy giạ trë nhoí nháút cuía M laì 66, khi: x = 4, y = 1, z = 4, t = 0 Baìi 3 (2 âiãøm)

a) 1 âiãøm

     1 1 x

1 x x f 2

2

 

 

- Våïi x1 = 1, x2 >1 thç f(x1) = 0, f(x2) > 0 nãn f(x1) < f(x2)

- Nãúu x  1, ta cọ



 

2 1 x

1 1

1 x f

  

Våïi 1 < x1 < x2 thç 0 < x1 - 1 < x2 - 1 nãn: >  

2 1 1 x

1

  

2 2 1 x

1



Do âọ: < hay f(x1) < f(x2)

 

2 1 1 x

1 1

1

   

2 2 1 x

1 1

1

 

Váûy våïi 1 x1 < x2 thç f(x1) < f(x2) b) 1 âiãøm

f(x) > > > > 0 1 2  2 x 2 x

1 x 2 x

2

2

 

  1 2

2 x 4 x 2

2    x 2 x 2 x 2 x

2 2    

 x (x - 2) > 0  x > 2 hồûc x < 0 (1)

f(x) <  <  4x2 - 8x + 4 < 3x2 - 6x + 6 4 3

2 x 2 x

1 x 2 x

2

2

 

 

4 3

 x2 - 2x - 2 < 0  (x - 1)2 - 3 < 0  (x -1 + ) (x - 1 - ) < 0 3 3  1 - < x < 1 + (2) 3 3

Tỉì (1) vaì (2) suy ra < f(x) <  1 - < x < 0 hồûc 2 < x < 1 + 2 1

4 3 3 3

Baìi 4 (4 âiãøm) A

D

B M H E C

N

a) Xẹt  MDE vaì  HEN cọ: = = 900 ADME AEHN = (gọc cọ cảnh tỉång ỉïng vuäng gọc) AMDE AHEN

nãn MDE ∾ HEN , suy ra: HN ME HE MD 

Hay MD.HN = HE.ME

Do …