Một số bài tập môn Hình học 9 (phần nâng cao)

Bài 51:Cho (O), từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tt AB và AC với đường tròn. Kẻ dây CD//AB. Nối AD cắt đường tròn (O) tại E. 1. C/m ABOC nội tiếp. 2. Chứng tỏ AB2=AE.AD. 3. C/m góc AOC ACB = và ∆BDC cân. 4. CE kéo dài cắt AB ở I. C/m IA=IB. 1/C/m: ABOC nt:(HS tự c/m) 2/C/m: AB2=AE.AD. Chứng minh ∆ADB ∽ ∆ABE , vì có E chung.

Sđ ABE = 2

1 sđ cung BE (góc giữa tt và 1 dây)

Sđ BDE = 2

1 sđ BE (góc nt chắn BE )

3/C/m AOC ACB = * Do ABOC nt⇒ AOC ABC = (cùng chắn cung AC); vì AC = AB (t/c 2 tt cắt nhau) ⇒ ∆ABC cân ở A⇒ ABC ACB AOC ACB = ⇒ =

* sđ ACB= 2

1 sđ BEC (góc giữa tt và 1 dây); sđ BDC = 2

1 sđ BEC (góc nt)

⇒ BDC= ACB mà ABC= BDC (do CD//AB) ⇒ BDC BCD = ⇒ ∆BDC cân ở B. 4/ Ta có Iɵ chung; IBE ECB = (góc giữa tt và 1 dây; góc nt chắn cung BE)⇒

∆IBE∽∆ICB⇒ IC

IB IB IE = ⇒ IB2=IE.IC

Xét 2 ∆IAE và ICA có Iɵ chung; sđ IAE = 2

1 sđ ( DB BE − ) mà ∆BDC cân ở B⇒

DB BC = ⇒sđ IAE= 1 sđ (BC-BE) = sđ CE= sđ ECA 2

⇒ ∆IAE∽∆ICA⇒ IA IE IC

IA = ⇒IA2=IE.IC Từ và ⇒IA2=IB2⇒ IA=IB

Hình 51

I

E

D

C

B

O A

ThuVienDeThi.com

Bài 52: Cho ∆ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng đơn vị độ dài), nội tiếp trong (O) đường kính AA’. 1. Tính bán kính của (O). 2. Kẻ đường kính CC’. Tứ giác ACA’C’ là hình gì? 3. Kẻ AK⊥CC’. C/m AKHC là hình thang cân. 4. Quay ∆ABC một vòng quanh trục AH. Tính diện tích xung quanh của hình được tạo ra. Hình bình hành. Vì AA’=CC’(đường kính của đường tròn)⇒AC’A’C là hình chữ nhật. 3/ C/m: AKHC là thang cân:

ta có AKC=AHC=1v⇒AKHC nội tiếp.⇒HKC=HAC(cùng chắn cung HC) mà ∆OAC cân ở O⇒OAC=OCA⇒HKC=HCA⇒HK//AC⇒AKHC là hình thang.

Ta lại có:KAH=KCH (cùng chắn cung KH)⇒ KAO+OAC=KCH+OCA⇒Hình thang AKHC có hai góc ở đáy bằng nhau.Vậy AKHC là thang cân. 4/ Khi Quay ∆ ABC quanh trục AH thì hình được sinh ra là hình nón. Trong đó BH là bán kính đáy; AB là đường sinh; AH là đường cao hình nón.

Sxq= 2

1 p.d= 2

1 .2π.BH.AB=15π

V= 3

1 B.h= 3

1 πBH2.AH=12π

Bài 53:Cho(O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm OA. Qua I vẽ dây MQ⊥OA (M∈ cung AC ; Q∈ AD). Đường thẳng vuông góc với MQ tại M cắt (O) tại P. 1. C/m: a/ PMIO là thang vuông.

1/Tính OA:ta có BC=6; đường cao AH=4 ⇒ AB=5; ∆ABA’ vuông ở B⇒BH2=AH.A’H

⇒A’H= AH

BH 2 = 4

9

⇒AA’=AH+HA’= 4

25

⇒AO= 8

25

2/ACA’C’ là hình gì? Do O là trung điểm AA’ và CC’⇒ACA’C’ là Hình 52

H

K C'

C

A'

A

O

B

ThuVienDeThi.com

b/ P; Q; O thẳng hàng. 2. Gọi S là Giao điểm của AP với CQ. Tính Góc CSP. 3. Gọi H là giao điểm của AP với MQ. Cmr: a/ MH.MQ= MP2. b/ MP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆QHP.

và CM=QD ⇒ CP=QD ⇒ sđ CSP= 2

1 sđ(AQ+CP)= sđ CSP= 2

1 sđ(AQ+QD)

=

2 1 sđAD=45o. Vậy CSP=45o.

3/ a/ Xét hai tam giác vuông: MPQ và MHP có : Vì ∆ AOM cân ở O; I là trung điểm AO; MI⊥AO⇒∆MAO là tam giác cân ở M⇒ ∆AMO là tam giác đều ⇒ cung AM=60o và MC = CP =30o ⇒ cung MP = 60o. ⇒ cung AM=MP ⇒ góc MPH= MQP (góc nt chắn hai cung bằng nhau.)⇒ ∆MHP∽∆MQP⇒ đpcm. b/ C/m MP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ QHP. Gọi J là tâm đtròn ngoại tiếp ∆QHP.Do cung AQ=MP=60o⇒ ∆HQP cân ở H và QHP=120o⇒J nằm trên đường thẳng HO⇒ ∆HPJ là tam giác đều mà HPM=30o⇒MPH+HPJ=MPJ=90o hay JP⊥MP tại P nằm trên đường tròn ngoại tiếp ∆HPQ ⇒đpcm. Bài 54: Cho (O;R) và một cát tuyến d không đi qua tâm O.Từ một điểm M trên d và ở ngoài (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đườmg tròn; BO kéo dài cắt (O) tại điểm thứ hai là C.Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d.Đường thẳng vuông góc với BC tại O cắt AM tại D. 1. C/m A; O; H; M; B cùng nằm trên 1 đường tròn.

1/ a/ C/m MPOI là thang vuông. Vì OI⊥MI; CO⊥IO(gt) ⇒CO//MI mà MP⊥CO ⇒MP⊥MI⇒MP//OI⇒MPOI là thang vuông. b/ C/m: P; Q; O thẳng hàng: Do MPOI là thang vuông ⇒IMP=1v hay QMP=1v⇒ QP là đường kính của (O)⇒ Q; O; P thẳng hàng. 2/ Tính góc CSP: Ta có

sđ CSP= 2

1 sđ(AQ+CP) (góc

có đỉnh nằm trong đường tròn) mà cung CP = CM Hình 53

S

J

H

M P

Q

I

D

C

O A B

ThuVienDeThi.com