Đề thi chọn hoc sinh gioi cấp huyện khối 9 năm học 2014 2015 môn thi Toán

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9

NĂM HỌC 2014 – 2015

Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (6đ)

Cho biểu thức A =  

  





  

   

  

  

   

3

5

5

3

15 2

25 : 1 25 5

x

x

x

x

x x

x x

x x

1. Rút gọn A 2. Tìm số nguyên x để A nguyên 3. Với x , x 25, x 9 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 0   

B = 5

) 16 (  x A

Câu 2: (4đ)

a) Giải phương trình:

11 21 2 1 2 3 4 9 2 2 2        x x x x x b) Tìm giá trị nhỏ nhất của

A = với x,y,z là các số dương và x2 + y2 + z2 = 1 y zx x yz z xy  

Câu 3: (3đ) a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

2x6 + y2 –2 x3y = 320

b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn . 1 1 1 6 x y y z z x      

Chứng minh rằng: . 1 1 1 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 2 x y z x y z x y z         

Câu 4: (6đ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I. Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J. a) Chứng minh: Đường thẳng IJ là tiếp tuyến của đường tròn (O’). b) Xác định vị trí của M trên đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất. Câu 5: (1đ)

Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn: 2xy + x + y = 83

-----------Hết-----------

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG

ĐÁP ÁN CHẤM THI HGS TOÁN 9

Năm học: 2014 – 2015

Câu ý Nội dung trình bày Điểm Tìm đúng điều kiện 9 , 25 ,0    x x x 1,0 a

Rút gọn

3

5

 

x A 1,5

x z => là Ư(5)  3  x 0,5 b

=> 3 1 ( )

3 5 4

x loai

x x

   

    

1,0

3

16

3 ( 5

) 16 ( 5 5

) 16 (



  

   

x

x

x

x x A B 0,5

6 3

25 3 3

25 3         

x x x x 1,0

1

(6đ)

c

=> => min B = 4 x=4 4  B  0,5 ĐK: hoặc x=0,5 4  x 0,5 Biến đổi:

           

)1( 0 1 2

0 ) 11 3 4 ( 1 2

0 1 2 11 1 2 3 1 2 4

1 2 11 1 2 3 1 2 4

11 21 2 1 2 3 4 9 2 2 2

  

      

        

       

      

x

x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

Hoặc (2) 0 11 3 4      x x

1,0

a

Giải (1) được x=0,5 (thỏa mãn),giải (2) được x=5 (thỏa mãn) 0,5

2

(4đ)

b A = y zx x yz z xy  

Nên A2 = ( vì x2+y2+z2 =1) 2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

   y

x z x

z y z

y x

= B +2

0,75

ThuVienDeThi.com

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có

2 2 2

2 2 2 2

2

2 2

2

2 2

2y x z

z y y x x

z y z

y x   

Tương tự 2 2

2 2

2

2 2

2z y

x z x

z y  

2 2

2 2

2

2 2

2x y

x z z

y x  

Cộng vế với vế ta được 2B 2  1  B 0,75

Do đó A2 = B +2 3 nên A   3

Vậy Min A = x=y=z= 3  3

3

0,5

Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 <=>(x3-y)2 +(x3)2=320

=> (x3)2 320 £ 0,5

mà x nguyên nên 2 x £ Nếu x=1 hoặc x=-1 thì y không nguyên (loại) Nếu x=2=> y=-2 hoặc y=6 Nếu x=-2 => y=-6 hoặc y=2

0,75

a

Vậy phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm (x;y) là: (2;-2);(2;6);(-2;-6);(-2;2) 0,25

3

(3đ)

b Áp dụng BĐT (với a, b > 0) 1 1 4 a b a b   

1 1 1 1 4 a b a b          

0,5

ThuVienDeThi.com