Toán BDHSG phương trình và hệ phương trình (lớp 9)

1 Toán BDHSG phương trình và hệ phương trình. (lớp 9)

Bài toán 1: Giải phương trình 2 2 10 12 40 x x x x      

Bổ đề : Với 0; 0 a b           2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b a b a b           

Giải: Điều kiện : , Ta có mà 2 10 x     2 10 2 2 10 4 x x x x        

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi    

2 2 2 12 40 12 36 4 6 4 4 x x x x x          

. Vậy phương trình có nghiệm x = 6 2 10 6 6 0 x x x x

         Hoặc: Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có

.     2 .4 10 .4 2 4 10 4 2 10 4 2 2 4 4

x x x x x x

             

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . 2 4 6 10 4

x x x

        

Bài toán 2: Giải phương trình: 2 2 2 1 1 2 x x x x x x        Vì và nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si mỗi số hạng của vế trái ta 2 1 0 x x   2 1 0 x x  

được: (1)  

2 2 2 1 1 1 .1 2 2 x x x x x x       

(2)  

2 2 2 1 1 2 1 .1 2 2 x x x x x x        

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có: nên theo đề ta

2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 x x x x x x x x x          

có : . Đẳng thức xảy ra khi x = 1 . Thử lại ta thấy x = 1 thoả . Vậy  

2 2 2 1 1 0 x x x x       phương trình có nghiệm là x = 1.

Bài toán 3: Giải phương trình: (1) 2 2 3 5 2 3 12 14 x x x x      

Điều kiện tồn tại phương trình: (*)

3 2 3 0 3 5 2 5 2 0 5 2 2 2

x x x x x

                 Vế phải của (1): . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ    

2 2 2 3 12 14 3 4 4 2 3 2 2 2 x x x x x          

khi x = 2. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki thoả mãn (*) thì vế trái của phương trình (1):

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi    2 2 2 3 5 2 1 1 2 3 5 2 4 2 x x x x        

. Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của 2 3 5 2 2 x x x      phương trình. Hoặc Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có:

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi     2 3 1 5 2 1 2 3 .1 5 2 .1 2 2 2 x x x x         

ThuVienDeThi.com

2

. Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của phương 2 3 1 2 5 2 1 x x x         trình.

Bài toán 4: Giải phương trình: . (1) 2 2 2 2 3 2 1 3 3 x x x x x x       

Giải: Điều kiện (2).

2

2 2 0

1 3 3 0

x x

x x

       Vế trái của phương trình (1): với mọi x . đẳng thức xảy ra khi x  

2 2 2 3 1 2 2 x x x       R = 1. Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki với mọi x thoả mãn (2) thì vế phải của phương trình (1) thoả:

. đẳng thức     

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 3 1 1 2 1 3 3 2 4 2 4 1 2 x x x x x x x x x x x                

xảy ra khi . Để đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) thì cả hai vế của 2 2 2 1 3 3 x x x x    phương trình (1) đều bằng 2. Nên x = 1. Thử lại thấy x = 1 là nghiệm của phương trình.

Bài toán 5: Giải phương trình: (1)   3 2 5 1 2 2 x x   

Giải: Điều kiện Do với mọi x nên    3 2 1 0 1 1 0 x x x x        2 1 0 x x   1 0 1 x x   

Đặt ; với . Nên phương trình (1) trở thành : 1 a x   2 1 b x x    0 ; 0 a b  

Giải phương trình này được hoặc  

2 2 2 5 2 2 5 2 0. a a ab a b b b                  

2 a b  1 2 a b 

Với thì phương trình (1) vô nghiệm 2 a b 

Với thì . Phương trình có hai nghiệm thoả điều kiện 1 2 a b  2

2

1 2 1 1

5 3 0

x x x x

x x

          

; . 1

5 37 2 x   2

5 37 2 x  

Bài toán 6: Giải phương trình: (1) 42 60 6 5 7 x x    

Phương trình (1) có nghĩa khi x < 5 nên  42 60 1 3 3 0 5 7 x x

                      

42 42 60 60 3 3 3 3 5 5 7 7 0 42 60 3 3 5 7

x x x x

x x

                                            

42 60 9 9 5 7 0 42 60 3 3 5 7

x x

x x

                        

 

 

 

9 5 42 9 7 60 0 42 60 5 3 7 3 5 7

x x

x x x x

                        

ThuVienDeThi.com