Đề huyện Kinh Môn năm 2015 - 2016 môn Toán

ĐỀ HUYỆN KINH MÔN NĂM 2015 - 2016 Câu 1: (2đ).

1) Cho

3 3 x 17 12 2 17 12 2     . Tính giá trị của biểu thức:

A = x6 – 6x4 + 4x3 + 9x2 – 12x + 724.

2) Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn: a3 + b3 – c3 + 3abc = 0.

Tính giá trị của biểu thức:

2 2 2 a b a c a M 2. 3. 5. c b c b                        

Câu 2: (2đ).

1) Giải phương trình:

2 2 x 12 17 9x x 5     

2) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 – 1 chia hết cho 24.

Câu 3: (2đ).

1) Tìm các số nguyên x, y sao cho 2x2 – 4x + 3y2 + 6y – 5xy – 7 = 0.

2) Cho đa thức P(x) thỏa mãn: Khi chia cho x – 3 dư 17; khi chia cho x – 1 dư 3.

Tìm dư của phép chia P(x) cho x2 – 4x + 3.

Câu 4: (3đ).

Cho ABC. M là điểm thuộc cạnh BC. Qua M kẻ các đường thẳng song song

với AC, AB. Chúng cắt AB, AC thứ tự tại N và P.

1) Gọi O là trung điểm của NP. Chứng minh A, O, M thẳng hàng.

2) Giả sử đường thẳng NP cắt đường thẳng BC tại Q và MB 1 MC 2  .

Tính QB/QC.

3) Tìm vị trí của M để diện tích MNP có giá trị lớn nhất.

Câu 5: (1đ).

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

8 8 8

4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 a b c M (a b ).(a b ) (b c ).(b c ) (c a ).(c a )         

ThuVienDeThi.com

Gợi ý

Câu 1: (2đ).

1) Cho

3 3 x 17 12 2 17 12 2     . Tính giá trị của biểu thức:

A = x6 – 6x4 + 4x3 + 9x2 – 12x + 724.

Từ

3 3 x 17 12 2 17 12 2      lập phương 2 vế, chuyển vế ta được:

x3 – 3x – 34 = 0.

 A = x3(x3 – 3x – 34) – 3x(x3 – 3x – 34) + 38(x3 – 3x – 34) + 2016 = 2016.

2) Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn: a3 + b3 – c3 + 3abc = 0.

Tính giá trị của biểu thức:

2 2 2 a b a c a M 2. 3. 5. c b c b                        

a3 + b3 – c3 + 3abc = 0  (a + b)3 – 3ab(a + b) – c3 + 3abc = 0

 (a + b – c).(a2 + 2ab + b2 + ac + bc + c2) – 3ab(a + b – c) = 0

 (a + b – c)(a2 – ab + ac + bc + b2 + c2) = 0

 (a + b – c)(2a2 – 2ab + 2ac + 2bc + 2b2 + 2c2) = 0

 (a + b – c)[(a – b)2 + (a + c)2 + (b + c)2] = 0

 a + b – c = 0 hoặc a = b = - c.

* Với a + b – c = 0  M = 2.12 + 3.(-1)2 + 5.12 = 10.

* Với a = b = -c  M = 2.(-2)2 + 3.(1/2)2 + 5.(-2)2 = 115/4

Câu 2: (2đ).

1) Giải phương trình:

2 2 x 12 17 9x x 5     

2 2 x 12 17 9x x 5       2 x 12  - 4 = 2 x 5  - 3 + 9x – 18



2 2 (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) 9(x 2) x 12 4 x 5 3

          



2 2 (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) 9(x 2) 0 x 12 4 x 5 3

           



2 2 x 2 x 2 (x 2) 9 0 x 12 4 x 5 3

               

Ta thấy

2 2 x 12 17 9x x 5      td

2 2 x 12 x 5 9x 17     

ThuVienDeThi.com

Vì

2 2 x 12 x 5    > 0 nên 9x – 17 > 0  x > 17/9.

Khi đó dễ thấy

2 2 x 2 x 2 9 x 12 4 x 5 3

       

< 0 nên x – 2 = 0  x = 2.

2) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 – 1 chia hết cho 24.

p2 – 1 = (p – 1)(p + 1).

Do p nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3.  p – 1 hoặc p + 1 chia

hết cho 3  (p – 1)(p + 1) chia hết cho 3 (1).

Do p nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ  p – 1 chẵn, p + 1 chẵn mà p – 1; p + 1 là 2

số chẵn liên tiếp  (p – 1)(p + 1) chia hết cho 8 (2)

(1); (2) và (3, 8) = 1  p2 – 1 chia hết cho 24.

Câu 3: (2đ).

1) Tìm các số nguyên x, y sao cho 2x2 – 4x + 3y2 + 6y – 5xy – 7 = 0.

Đưa về (x – y – 2)(2x – 3y) = 7.

Vì x, y nguyên nên:

x-y-2 1 7 -1 -7

2x – 3y 7 1 -7 -1

x 2 17 10 - 14

y -1 26 9 - 9

2) Cho đa thức P(x) thỏa mãn: Khi chia cho x – 3 dư 17; khi chia cho x – 1

dư 3. Tìm dư của phép chia P(x) cho x2 – 4x + 3.

Theo bài  P(3) = 17; P(1) = 3.

Vì đa thức chia là x2 – 4x + 3 có bậc 2 nên đa thức dư có dạng ax + b

 P(x) = (x – 1)(x – 3).Q(x) + ax + b.

P(3) = 17 và P(1) = 3  a + b = 3 và 3a + b = 17  a = 7, b = - 4

Vậy dư là 7x – 4.

ThuVienDeThi.com