Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp 9 (lần 2) năm học 2012 - 2013 môn Toán

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (lần 2)

Năm học 2012 - 2013

Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề).

Bài 1: (3,0 điểm):

Cho x x 1 x x 1 M

x x x x       a) Tìm điều kiện để M có nghĩa. b) Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa)

Bài 2 : (4,5 điểm)

a) Tính : 4 5 3 5 48 10 7 4 3 A     b) Giải phương trình : 2 2 10 12 40 x x x x      

Bài 3. (4,0 điểm) a) Tìm các số nguyên thỏa mãn: ;x y 2 2 3 2 0 y xy x     b) Tìm số tự nhiên để: là số nguyên tố. n 2012 2002 1 A n n   

Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (O;R), trong đó B, C là các tiếp điểm. Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.

a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định.

b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định.

Bài 5: (5,0 điểm ) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I.

1. Chứng minh : 2 2 2

1 1 1

AB AK AM  

2. Biết góc MAN có số đo bằng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm. Tính diện tích tam giác AMN.

3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI (P IK, QAK, R AI). Xác định vị trí điểm O để 2 2 2 OR OQ OP   nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Hết

ThuVienDeThi.com

Đề về nhà (làm chi tiết các bài Không làm tắt)

Bài 1.(3,0 điểm)

a,TÝnh: 3 5 3 5 M

2 3 5 2 3 5

        b, Không sử dụng bảng số và máy tính hãy so sánh: và A 2010 2012   B 2 2011  Bài 2.(4,0điểm)

Cho biểu thức: với x > 0 và x x 2 x 1 x 1 P : 2 x x 1 x x 1 1 x

               1 

a, Rót gän P.

b, Tìm x để 2 P 7 

c, So sánh với 2P 2 P Bài 3.(3,5 điểm)

a, Giải phương trình:

2 x 3 5 x x 8x 18      

b, Cho x, y là các số thoả mãn:    2 2 x 3 x y 3 y 3     

Hãy tính giá trị của biểu thức: 2011 2011 A x y 1    Bài 4.(7,5 điểm)

Cho tam giác ABC (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn (O;R). Đường tròn (O;R) tiếp xúc với các cạnh BC, AB, AC lần lượt tại các điểm D, N, M. Kẻ đường kính DI của đường (O;R). Qua I kẻ tiếp tuyến của đường (O;R) nó cắt AB, AC lần lượt tại E, F.

a, Biết AB = 8cm, AC = 11cm, BC = 9cm. Tính chu vi của tam giác AEF. b, Chứng minh EI. BD = IF.CD = R2. c, Gọi P là trung điểm của BC, Q là giao điểm của AI và BC, K là trung điểm của AD. Chứng minh ba điểm K, O, P thẳng hàng và AQ = 2KP. Bài 5.(2,0 điểm)

a, Với a, b > 0 chứng minh: . Dấu “=” xảy ra khi nào?         

1 1 1 1 a b 4 a b

b, Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn:    1 1 1 8 x y z

Tìm giá trị lớn nhất của          1 1 1 P 2x y z x 2y z x y 2z

Hết

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2012 - 2013

MÔN: Toán

Bài 1: (3,0 điểm): Cho x x 1 x x 1 M

x x x x       a. Tìm điều kiện để M có nghĩa. (1,0 đ)

Để M có nghĩa, ta có:

x 0

x x 0

x x 0

       



x 0

x( x 1) 0

x( x 1) 0

         

 x 0 x 1     

b. Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa) (2,0 đ) Với x > 0, ta có: 1 

2 (x x 1)(x x) (x x 1)(x x) M x x       

=

2 2 2 2

2 x x x x x x x x x x x x        

= = 2. Vậy M = 2

2

2 2x 2x x x  

2

2 2(x x) x x   

1

0,5

0,5

1 Bài 2 : (4,5 điểm)

a) (2 điểm) Tính : 4 5 3 5 48 10 7 4 3 A    

Ta có :  

2 4 5 3 5 48 10 2 3 A    

  4 5 3 5 48 10 2 3 A    

4 5 3 5 28 10 3 A   

 

2 4 5 3 5 5 3 A   

= =   4 5 3 5 5 3 A    4 5 3 25 5 3    4 5 3  

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

b) (2 điểm) Giải phương trình : 2 2 10 12 40 x x x x       Điều kiện : 2 10 x   Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm.

Ta có : =       1 1 2 4 10 4 2 10 2 .4 10 .4 2 2 2 2 x x x x x x                    4

Dấu “ = ” xảy ra (1) 2 4 6 6 10 4 6 x x x x x                 Mặt khác :    

2 2 2 12 40 12 36 4 6 4 4 …