Đề thi olympic Toán 9 năm học 2014-2015 huyện Đức Thọ

PHÒNG GD-ĐT ĐỨC THỌ ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 9 NĂM HỌC 2014-2015 Đề thi chính thức Thời gian làm bài 120 phút

Bài 1: Cho biểu thức 2 2 2 2 x y A x x y x x y 2              a) Rút gọn A với x y 0  

b) Tính giá trị của A khi và 3 x 2 13 5   3 y 2 13 5   Bài 2: a) Giải phương trình  

3 2 x x 5 2 x 5x 2 2     

b) Giải hệ phương trình

2 2 x y xy 9 x y xy 3

        Bài 3: Cho phương trình (m là tham số)  

2 m 1 x 2mx m 1 0     a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn 2 2 1 2 2 1 x x x x 2m   Bài 4: Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Trên d lấy điểm M bất kì, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AOC, tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại E

a) Chứng minh rằng 2 AB.AE 4R  b) Chứng minh rằng CM vuông góc với OE c) Xác định vị trí của M để dây AB có độ dài nhỏ nhất

Bài 5: Cho x, y > 0 thỏa mãn . Tìm GTNN của x y 1   x y P

1 x 1 y    

BÀI GIẢI

Bài 1: a) Đặt     2 2 2 2 2 2 2 2 B x x y x x y B 2x 2 x x y 2 x y             

(Vì x  y). Do đó   B 2 x y      x y A . 2 x y x y 2     

b)    3 3 3 3 P 2 13 5 2 13 5 P 10 3 2 13 5 2 13 5 .P 10 9P           

(Vì )    3 2 P 9P 10 0 P 1 P P 10 0 P 1           

2 2 1 39 P P 10 P 0 2 4             Vậy P = 1 Bài 2: a) Phương trình 3 2 2 x 5x 2 2 x 5x 2 4 0         Đặt ta có phương trình (Vì y2 3 2 x 5x 2 y       3 2 y 2y 4 0 y 2 y 2y 2 0 y 2          

– 2y + 2 = (y – 1)2 + 1 > 0). Do đó 3 2 2 x 5x 2 2 x 5x 6 0      

. Phương trình có tập nghiệm S = {-2; -3}   

x 2 x 2 x 3 0 x 3

        

b) Hệ phương trình         

2

2 x y xy 9 x y x y 12 0 x y 3 x y 4 0 x y xy 3

                     

Với x + y – 3 = 0 ta có có nghiệm (x, y)  {(0, 3); (3, 0)} x y 3 xy 0      

ThuVienDeThi.com

Với x + y + 4 = 0 ta có vô nghiệm  

2 2

x y 4 x y 4 x y 4

xy 7 y 4y 7 0 y 2 3 0

                        Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y)  {(0, 3); (3, 0)} Bài 3: a) Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì   

2 m 1 m 1 0 m 1 1 m 1       b) Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 khi m    2 ' m m 1 m 1 1 0     

 1

Theo Viet thì . Ta có

1 2

1 2

2m x x m 1 m 1 x x m 1

          

  2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 x x x x 2m x x x x 2m     

(TMĐK m  1)       2 2 m m 1 2m m 1 2m m 0 m m m 2 0 m 0 m 1 m 1 m 1

                         

(Vì ). Vậy m = 0 thỏa mãn bài toán

2 2 1 7 m m 2 m 0 2 4             Bài 4: a) Gọi H là giao điểm MO và AB

Ta có nên AHO  ACE (g - g) A A 0 AHO ACE 90  

2 AH AO 2.AH 2.AO AB 2R AB.AE 4R AC AE AC AE 2R AE        

b) Ta có (cùng chắn cung BC) A A BCE BAC  (cùng phụ với ) A A BAC AMO  AAOM Do đó và A A BCE AMO  A A 0 CBE MAO 90  

nên BCE  AMO (g - g) BE BC AO AM  

BE BC BE BO BO BM BC BM    

có nên EBO  CBM (c – g – c) . Gọi I, J lần lượt là A A A 0 EBO CBM 90 OBC    A A BEO BCM   giao điểm của OE với MC và BC ta có hay CM  A A A A A 0 0 0 BEO BJE 90 BCM IJC 90 CIJ 90        OE c) Kẻ OK  d cắt AB tại N. Ta có OHN  OKM (g - g)  ON. OK = OH. OM = OA2 = R2 Vì đường thẳng d cố định nên K cố định, O cố định, suy ra N cố định hay ON không đổi

Ta có không đổi 2 2 2 2 2 2 AB 2.AH 2 AO OH 2 R OH 2 R ON        Do đó AB nhỏ nhất khi ON = OH  N trùng H  M trùng K

Bài 5: Với a, b > 0 thì , thật vậy BĐT  

2 2 2 m n m n a b a b         

2 2 2 a b bm an ab m n     

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 abm a n b m abn abm 2abmn abn 0 an bm 0           

Áp dụng BĐT trên ta có . Áp dụng  

2 2 2 2 2 x y x y x y P

x y y x x xy y xy x xy y xy

     



Bunhia được       

2 x xy y xy x y xy xy x xy y xy x y 2xy  …