Đê thi chon hoc sinh gioi vong huyên năm hoc 2009 - 2010 môn Toan

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN

Năm học 2009 - 2010

Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (6 điểm)

a) Chứng minh rằng: Z; Z    6 2 3

3 2 a a a  a

b) Chứng minh rằng: n4 + 6n2 - 7 64, lẻ  n 

Bài 2:( 4 điểm )

Cho biểu thức P = 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x x x x x          a. Rút gọn P

b. Tính giá trị của P khi x = 2 3 5  c. Tìm x để P < 1

Bài 3: (4 điểm) Cho các đường thẳng có phương trình: mx + (2m – 1)y + 3 = 0 a/ Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2;1). b/ Chứng minh rằng các đường thẳng trên luôn luôn đi qua một điểm cố định M với mọi m. Tìm toạ độ của M.

Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2BC. Trên cạnh BC lấy điểm E. Tia AE cắt đường thẳng CD tại F.

Chứng minh rằng: 2 2 2 4

1 1 1

AF AE AB  

Bài 5: (4 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Gọi M là điểm di động trên cung AB (M A, M B). Tiếp tuyến tại M với (O;R) cắt Ax,   By lần lượt tại C,D.

a/ Chứng minh tam giác COD vuông và AC.BD = R2 b/ Gọi N là giao điểm của OD và nửa đường tròn (O;R). Chứng minh rằng N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MBD.

……………Hết…………..

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN

Năm học 2009 - 2010

Môn: Toán Bài 1:(6 điểm)

1a

1b

Ta đặt A = 6

) 2 )( 1 ( 6 2 3

3 2      a a a a a a

Vì a(a+1)(a+2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6. Do đó A 6 hay A Z  

Đặt B = n4 + 6n2 - 7 = n4 - n2 + 7n2 - 7 = n2(n2 - 1) - 7(n2 - 1) = (n2 - 1)(n2+7) Vì n lẻ nên n = 2m + 1 (m Z)  Khi đó: B = [(2m + 1)2 - 1].[(2m + 1)2 +7] B = (4m2 + 4m)(4m2 + 4m + 8) B = 16m(m + 1)(m2 + m + 2) B = 16m(m + 1)[m(m + 1) + 2] Vì m(m + 1) là tích 2 số nguyên liên nên chia hết cho 2. Suy ra B 64 

1

1 0,5

0,75 0,25

0,5

0,5

0,75

0,75

Bài 2:( 4 điểm)

a) ĐK 0; 4; 9 x x x   

P=      

2 9 9 2 3 2 2 1 3 2 3 2 3

x x x x x x x x x x x x

          

    

( 1,5đ)

b) Khi 2 3 5 x 

 ta có P=

4 2 2 1 1 1 2(3 5) 1 5 3 5 5 1 2 2 4 5 3 5 3 3 3 5 1 3 5 2(3 5)

         

      

( 1,5đ)

c) Để P<1 thì 1 4 1 1 0 9; 4 3 3 x x x x x         ( 1đ)

Bài 3: (4 điểm)

a/ Đường thẳng đi qua A(2;1) Do đó: m.2 + (2m – 1)1 + 3 = 0

2m + 2m – 1 + 3 = 0 

4m = - 2 

m = -  2 1

Phương trình đường thẳng cần tìm là: - x – 2y + 3 = 0 2 1

(2 điểm)

ThuVienDeThi.com

b/ Gọi M(xo;yo) là điểm cố định thuộc đường thẳng:

mxo + (2m – 1)yo + 3 = 0 đúng với mọi m. 

mxo + 2myo – yo + 3 = 0 đúng với mọi m. 

m(xo + 2yo) – yo + 3 = 0 đúng với mọi m. 



  

  

 

0 3

0 2

o

o o

y

y x 

  



 

3

6

o

o y

x

Vậy các đường thẳng có pt: mx + (2m – 1)y + 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định M(-6;3).

(2 điểm) Bài 4: (2 điểm)

Vẽ AK AF (K CD) A B   ABE ADK (g - g)

E  AE AK AD

AB AK

AE

2 1 2    

K F D C

Xét AKF vuông tại A, ta có: 2 2 2

1 1 1

AF AK AD  

Suy ra: 2 2 2

1

) 2 1 (

1

) 2 1 (

1

AF AE AB

 

hay: 2 2 2 4

1 1 1

AF AE AB  

0,5

0,5

0,5

0,5

Bài 5: (4 điểm)

a/ CA, CM là tiếp tuyến của (O;R) (gt) Theo tính chất tiếp tuyến ta có: AC = CM OC là tia phân giác AOM Tương tự: BD = MDX OD là đường phân giác của BOM Ta có: OC và OD lần lượt là hai tia phân giác của hai góc kề bù AOM và BOM Do đó: COD = 900 COD có góc COD = 900 và OM CD ( CD là tiếp tuyến của (O) ) Do đó: CM . MD = OM2, OM = R Vậy: AC . BD = R2





  



.

ThuVienDeThi.com