Đề thi chọn đội tuyển lớp 9 dự thi cấp tỉnh năm học 2011-2012 môn Toán

1

PHÒNG GD& ĐT ĐÀO TẠO LÂM THAO

KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LỚP 9 DỰ THI CÂP TỈNH

NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

Ngày thi 9 tháng 2 năm 2012 Câu 1 ( 3 điểm)

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2(x+y)+xy=x2 +y2

b)Chứng minh rằng nếu 3 số a, a + k , a + 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k 6 

Câu 2 ( 4 điểm)

a) Cho ;    2 2 1 1 y x xy a     2 2 1 1 x y y x b    

Chứng minh rằng 1 2   a b b) Cho x. y. z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện : 4 x y z xyz     Tính giá trị biểu thức (4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 ) A x y z y z x z x y xyz           Câu 3 ( 4 điểm)

a) Giải phương trình 2012 2012 2 4    x x

b) Giải hệ phương trình:

x 16 xy y 3 y 9 xy x 2

        Câu 4 ( 7 điểm) Cho đoạn OA=2a cố định hai tia Ox và Oy tạo với nhau một góc 450 và tự quay xung quanh đỉnh O . Qua điểm A hạ đường vuông góc AB xuống Ox và AC xuống Oy .) ; ( Oy C Ox B   a) Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C,O cùng nằm trên một đường tròn ,tính độ dài đoạn thẳng BC theo a.

b) Tìm điểm cố định mà đường tròn đường kính BC đi qua. c) Gọi D và E lần lượt là giao của AB và AC với Oy và Ox. Tam giác ACD là tam giác gì? Chứng minh DE có độ dài không đổi

Câu 5 ( 2 điểm) Cho a;b;c dương thỏa mãn a+b+c=1.Tìm trị lớn nhất của biểu thức

ac b

ac bc a

bc ab c

ab B      

Ghi chú : thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

ThuVienDeThi.com

2

PHÒNG GD& ĐT ĐÀO TẠO LÂM THAO

KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LỚP 9 DỰ THI CÂP TỈNH

NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN

Câu Hướng dẫn chấm Điểm 1 a) 2(x+y)+xy=x2 +y2 x2 –(y+2)x+y2-2y=0(1)  PT (1) có nghiệm khi ; 16 ) 2 ( 3 0 0 ) 2 ( 3 16 2 2          y y chính phương  giải ra tìm được           0;2 ; 0;0 ; 4;4 ; 4;2 ; 2;4 ; 2;0 ;  y x

b)/ . Chứng minh rằng nếu 3 số a, a + k , a + 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k 6 

Vì a và a + k cùng lẻ nên a + k - a = k 2 (1) 

Do a, a + k , a + 2k là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên chúng đều là số lẻ và không chia hết cho 3, như vậy ít nhất có 2 số có cùng số dư khi chia cho 3.

- Nếu a và a + k có cùng số dư khi chia cho 3

thì a + k -a = k 3. 

- Nếu a + k và a + 2k có cùng số dư khi chia cho 3

thì a + 2k - a - k = k 3. 

- Nếu a và a + 2k có cùng số dư khi chia cho 3

thì (a + 2k - a = 2k 3 suy ra k 3  

Ta có k chia hết cho 2 , k chia hết cho 3 nên k chia hết cho 6

0,5

1,0

0,5

1,0

a)Ta có

        2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 2

1 1 1 1 2

y x x y y x xy y x a

y x y x xy y x a

        

      

          2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2

1 1 1 2 1

y x y y x xy y x x b

x y y x xy y x b

       

      

ta có suy ra 1 2 2  b a 1 2   a b b) Ta có 4 4( ) 4 16 x y z xyz x y z xyz          Khi đó ta có : (4 )(4 ) (16 4 4 ) x y z x y z yz      

( 4 4 ) x yz xyz x   

(1) 2 . ( 2 ) 2 x yz x xyz x     Tương tự (2) (4 )(4 ) 2 y z x xyz y     (3) (4 )(4 ) 2 z x y xyz z    

1,0

1,0

1,0

1,0

ThuVienDeThi.com