Bài tập về số vô tỉ

1

BÀI TẬP VỀ SỐ VÔ TỈ

Trong toán học, số vô tỉ là số thực không phải là số hữu tỉ, nghĩa là không thể biểu diễn được dưới dạng tỉ số a/b (a và b là các số nguyên) Người ta đã chứng minh được rằng, tập hợp các số vô tỉ có lực lượng lớn hơn tập hợp các số hữu tỉ..

I/ Chứng minh số vô tỉ 1/ Chứng minh căn bậc hai của 2 ( ) là số vô tỉ 2

Cách CM thứ nhất

Giả sử rằng là một số hữu tỉ, nghĩa là tồn tại hai số nguyên a và b mà a / b = . 2 2

Như vậy có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản a / b với a, b là hai 2 số nguyên tố cùng nhau và (a / b)2 = 2.  suy ra a2 / b2 = 2 và a2 = 2 b2. Khi đó a2 là số chẵn vì nó bằng 2 b2 (hiển nhiên là số chẵn)  suy ra a phải là số chẵn vì a2 là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn.).

Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số k thỏa mãn: a = 2k. Từ đó ta có:

(2k)2 = 2b2  4k2 = 2b2  2k2 = b2.

Vì 2k2 là số chẵn nên b2 là số chẵn,  suy ra b cũng là số chẵn

Vì a và b đều là các số chẵn thì mâu thuẫn với giả thiết a / b là phân số tối giản

vậy nếu là một số hữu tỉ là kết luận sai  phải kết luận là số vô tỉ. 2 2

Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng rằng: "căn bậc hai của một số tự nhiên bất kì hoặc là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ."

Cách CM thứ hai

Để chứng minh: " là một số vô tỉ" người ta còn dùng phương pháp phản 2 chứng theo một cách khác, cách này ít nổi tiếng hơn cách ở trên.

ThuVienDeThi.com

2

Giả sử rằng là một số hữu tỉ. Điều này có nghĩa là tồn tại hai số 2 nguyên dương m và n sao cho m/n = . 2

- Biến đổi đẳng thức trên, ta có: m/n = (2n - m)/(m - n).

Vì > 1, nên từ (1) suy ra m > n m > 2n - m.  suy ra (2n - m)/(m - n) 2 là phân số rút gọn của phân số m/n.

 suy ra, m/n không thể là phân số tối giản hay không thể là số hữu tỉ - 2 mâu thuẫn với giả thiết là một số hữu tỉ. Vậy phải là số vô tỉ. 2

Bổ sung:

Cách chứng minh trên tương tự với cách dùng phép dựng hình để chứng minh giả thuyết về số - một loại phương pháp chứng minh được sử dụng bởi các nhà 2 hình học Hy lạp cổ đại.

Xét một tam giác vuông cân mà độ dài tương ứng của các cạnh góc vuông và

cạnh huyền là hai số nguyên dương n và m.

Áp dụng Định lý Pytago, ta suy ra tỉ số m/n bằng . 2

Mặt khác, bằng phương pháp dựng hình cổ điển com-pa và thước thẳng ta dựng được một tam giác vuông cân nhỏ hơn với độ dài của các cạnh góc vuông và cạnh huyền tương ứng bằng m − n và 2n − m.

Áp dụng Định lý Pytago cho tam giác thứ hai, ta suy ra tỉ số (2n − m)/(m − n) cũng bằng . Như vậy, m/n = (2n − m)/(m − n), điều này chứng tỏ phân 2 số m/n không thể là phân số tối giản hay không phải là số hữu tỉ mà phải là số 2 vô tỉ.

2/ Chứng minh Căn bậc hai của 10 là số vô tỉ

Giả sử là số hữu tỉ, tức là bằng m/n, vậy:

m2 = 10n2 trong đó m, n là số nguyên

Tuy nhiên, trong hệ thập phân, bất kỳ số bình phương nào cũng có số chẵn số 0 ở cuối. (Chứng minh: Bất kỳ số nguyên n nào, trong hệ thập phân, đều có dạng: a.10k, k ≥ 0, trong đó a không kết thúc bằng số 0. Vậy bất kỳ số bình phương n2 nào cũng có dạng: a2 102k, k ≥ 0.)

ThuVienDeThi.com