Đề thi học kỳ Toán lớp 9

Đề 1

Câu I (4,0 điểm): Cho biểu thức . xy x xy x x 1 x 1 A 1 : 1 xy 1 1 xy xy 1 xy 1

                         1. Rút gọn biểu thức A.

2. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của A. 1 1 6 x y  

Câu II (5,0 điểm).

2. Giải hệ phương trình . 4 4 4 1 x y z

x y z xyz

        

Câu III (4,0 điểm).

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho (a + b2) chia hết cho (a2b – 1).

2. Tìm thỏa mãn . N z y x  , , z y x    3 2

Câu IV (6,0 điểm) : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc

đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AO cắt nửa

đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của

nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD.

1. Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân.

2. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng.

3. Chứng minh góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD.

Câu V (1,0 điểm) : Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 3 3 1 1 B xy x y   

Đề 2 Câu 1 (4,0 điểm).

a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, ... , an. Đặt S = 3 3 3 1 2 n a a ... a   

và . 1 2 n P a a ... a    

Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.

ThuVienDeThi.com

b) Cho A = (với n > 1). Chứng minh A không 6 4 3 2 n n 2n 2n    n N,  phải là số chính phương.

Câu 2 (4,5 điểm).

a) Giải phương trình: 3 2 10 x 1 3x 6   

b) Giải hệ phương trình:

1 x 3 y

1 y 3 z 1 z 3 x

          

Câu 3 (4,5 điểm).

a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và . 1 1 1 4 x y z   

Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2x+y+z x 2y z x y 2z       

b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn . 2011 2011 2011 x y z 3   

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 M x y z   

Câu 4 (4,5 điểm).

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác. Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. (M không trùng với B và C). Gọi N và P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC.

a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng.

b) Khi , xác định vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ A 0 BOC 120  1 1 MB MC 

nhất.

Câu 5 (2,5 điểm).

ThuVienDeThi.com

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.

ThuVienDeThi.com