Chuyên đề Các bài tập về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

GV Nguyễn Ngọc Hưng Sưu tầm và biên soạn

Chuyên đề: CÁC BÀI TẬP VỀ TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC

I) LÝ THUYẾT: 1. Cho biểu thức f(x,y). Ta nói M là GTLN của biểu thức f(x,y), ký hiệu maxf = M , nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:

a. Với mọi x, y để f(x,y) xác định thì f(x,y) . M  b. Tồn tại sao cho f( ) . 0 0 ;y x 0 0 ;y x M  2. Cho biểu thức f(x,y). Ta nói m là GTNN của biểu thức f(x,y), ký hiệu minf = m , nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:

a. Với mọi x, y để f(x,y) xác định thì f(x,y) . M  b. Tồn tại sao cho f( ) . 0 0 ;y x 0 0 ;y x m 

II BÀI TẬP: Bài 1: Cho biểu thức A = a3 +b3 + c3+a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b), với a+b+c = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A. Giải: Ta có : A = a3 +b3 + c3+a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b) = a2(a+b+c) + b2(a+b+c)+c2(a+b+c) = (a+b+c)(a2+b2+c2) Với a+b+c = 1 thì A = a2+b2+c2 Ta c ó a2+b2 2ab  a2+ c2 2ac  b2 + c2 2bc  2(a2 + b2 +c2) 2(ab + bc + ac) (1)  Cộng thêm vào hai vế của (1) với a2 + b2 + c2

3(a2 + b2 + c2) (a+b+c)2 3A 1 A . Dấu “ = ” xảy ra khi a= b =c Mà      3

1

a+b+c = 1 nên a =b=c = 3

1

Do đó A đạt giá trị nhỏ nhất là khi a =b=c = 3 1

3 1

Bài 2: Cho x+y = 2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2+y2

Giải: Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski : (ac+bd)2 (a2 + b2)(c2+d2) dấu = xảy ra  

(*) d b c a 

Chän a = x ; c=1 ; b=y d =1 Ta cã : (x.1+y.1)2 (x2+y2)(1+1)  (x+y)2 (x2+y2)(1+1)  4 (x2+y2).2  2 (x2+y2)  VËy B 2  DÊu “= ’’xÈy ra khi x=y = 1

ThuVienDeThi.com

GV Nguyễn Ngọc Hưng Sưu tầm và biên soạn Vậy Min B = 2 khi x = y =1 Cách 2: Ta có : x+y =2 y =2- x  Do đó: B = x2 + (2-x)2 = x2 +x2- 4x + 4 = 2x2 – 4x + 4 = 2(x2 – 2x+1 +1) = 2(x-1)2 +2 2  Vậy Min B = 2 khi x-1 =0 hay x= 1 ; y =1

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x2 + 2y2 – 2xy – 4y + 5

Giải: Ta có : C = (x2 - 2xy + y2) + ( y2 – 4y+4)+1 = (x –y)2 + (y -2)2 + 1 Vì (x – y)2 0 ; (y-2)2 0   Do vậy: C 1 với mọi x;y  Dấu “ = ” Xảy ra khi x-y = 0 và y-2 =0 x=y =2  Vậy: Min C = 1 khi x = y =2

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức D = 2x2 – 2xy +5y2 + 5 Giải: Ta có : D = x2 – 4xy + 4y2 + x2 +2xy +y2 +5 D = (x - 2y)2 + (x+y)2 + 5 Ta thấy : (x-2y)2 0 ; (x+y)2 0   Nên: D 5  Dấu “ = ” Xảy ra khi : x – 2y = 0 x+ y = 0 x = y = 0  Vậy Min D = 5 khi x = y =0

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 5x2 +8xy + 5y2 – 2x + 2y Giải: Ta có : E = (4x2 + 8xy +4y2 )+(x2 - 2x +1) + (y2 +2y +1) – 2 E = (2x +2y)2 +(x- 1)2 +( y+1)2 - 2 Do đó E - 2  Dấu “ = ” xảy ra khi

  

    





 

 

 

1 1

0 1

0 1

0 2 2

y x

y x

y x

Vậy Min B = -2 khi x =1 và y =-1

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = a3 + b3 + ab (với a + b = 1) Giải: Ta có : F = (a+b)(a2 –ab+b2) +ab Thay a+ b =1 vào F ta được F = a2 – ab +b2 + ab F = a2 +b2

ThuVienDeThi.com

GV Nguyễn Ngọc Hưng Sưu tầm và biên soạn F = (a+b)2 – 2ab F = 1 – 2ab Do a+b =1 a = 1-b thay vào F ta có : F = 1- 2(1-b)b  F = 1 -2b+2b2

F = 2(b2 – b+ ) + 4 1

2 1

F = 2(b - )2 + Với mọi b 2 1

2 1 2

1

Dấu “ = ” xảy ra khi : b - = 0 b = và a = 2 1  2 1

2 1

Vậy Min F = Khi a =b = 2 1

2 1

Bài 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : G (x) = x + (x > 0) x 4

1

Giải: Ta có: G = x + x 4

1

= = = 1+ x x

4

1 4 2 

x

x x x

x x x

4

4 )1 2 ( 4

4 1 4 4 2 2      

x x

4

)1 2 ( 2 

V ì x > 0 nên G 1 

Vậy giá trị nhỏ nhất của G là 1 khi : = 0 (2x -1)2 = 0 x = x x

4

)1 2 ( 2    2 1

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: H = x(x+1)(x+2)(x+3) Giải: Ta có: H = x(x+3)(x+1)(x+2) H = (x2+ 3x)(x2 + 3x +2) H = (x2+3x)2 + 2(x2+3x) H = (x2+3x)2 + 2(x2+3x)+1 – 1 H = (x2 + 3x +1)2 – 1

H - 1, dấu ‘ = ’ xảy ra khi x2 + 3x +1 = 0 x =   2

5 3  

Vậy giá trị nhỏ nhất của H là -1 khi x = 2

5 3  

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : I(x) = 1 1

2

2

  x x

Giải : Ta có : I(x) = = 1- Do vậy, I(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi biểu thức đạt 1 1

2

2

  x x

1 2

2  x 1 2

2  x giá trị lớn nhất nghĩa là x2 + 1 đạt giá trị nhỏ nhất . Ta có: x2 + 1 1 với mọi x  Min (x2 + 1) = 1 tại x = 0 Min I(x) = 1- 2 = …