Bài tập nâng cao hệ thức lượng trong tam giác vuông

1

10cm

X

X

H K D C

B A

2x

12

15,6

// //

K

H C B

A

F

E

H B

C

A

H

D

I A C

B

BÀI TẬP NÂNG CAO HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó. Bài giải sơ lược: Kẻ AH CD ; BK CD. Đặt AH = AB = x HK = x    AHD = BKC (cạnh huyền- góc nhọn)  

Suy ra : DH = CK = . 10

2

x 

Vậy HC = HK + CK = x + = 10

2

x  10 2 x 

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH

Ta có : AH2 = DH . CH hay 5x2 = 100 2 10 10 . 2 2 x x x    

Giải phương trình trên ta được x = và x = – (loại) 2 5 2 5 Vậy : AH = 2 5 Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC. Giải: Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x Áp dụng định lí Pitago tính được AC = 2 2 15,6 x  Từ KBC HAC  

hay BC KB AC AH  

2 2 2 12 15,6 15,6

x

x

  Đưa về phương trình 15,62 + x2 = 6,76x2 Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5 Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm) Bài Tập 3 : Cho . Qua trung điểm I của AC, dựng ID BC. A 0 : 90 ABC A    Chứng minh : 2 2 2 BD CD AB   Giải: Hạ . Ta có : HD = DC ( t/c đường trung bình) AH BC  Ta có : BD2 – CD2 = ( BC - CD)2 – CD2 = BC2 + CD2 – 2BC.CD – CD2 = BC2 – BC.(2CD) = BC2 – BC.HC = BC2 – AC2 = AB2 ( Chú ý : AB2 = BC2 – AC2) Bài Tập 4 : Cho ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với 

AB, AC. Chứng minh rằng: a) b) BC . BE . CF = AH3

3 EB AB FC AC       Giải: a) Trong có HB2 = BE . BA (1) ; AHB  có HC2 = CF . CA (2 ) AHC 

Từ (1) và (2) có : . (1)

2

2 . HB BE AB HC FC AC 

ThuVienDeThi.com

2

H F

B A

D C

E

H P

N

M

C

D

A

B

Trong có :AB2 = BH . BC và AC2 = HC . BC suy ra ABC 

(2)

2 4 2

2 HB AB HB AB HC AC HC AC               

Từ (1) và (2). Ta có : .

3 EB AB FC AC      

b) . ABC  BE BH EBH BA BC   

Thay (3)

2 3

2 AB AB BH BE BC BC   

Tương tự ta cũng có ( 4) .

3

2 AC CF BC 

Từ (3) và (4) Ta có : BE .CF = .

3 3

4 . AB AC

BC

Mà AB. AC = BC . AH nên BC . BE . CF = = AH3

3 3 3

2 2 AB AC BC

         Bài 5: Cho hình vuông ABCD. Qua A, vẽ cát tuyến Bất kì cắt cạnh BC, tia CD lần lượt tại E và F.

Chứng minh : . 2 2 2 1 1 1 AE AF AD  

Giải: Dựng điểm H thuộc tia CD sao cho BE = HD. Ta có : ( c – g –c ) . ABE ADH   )AE AH   Áp dụng hệ thức lựơng cho . A 0 AHF: AF 90 ; H AD HF   

Ta có : nên 2 2 2 1 1 1 AH AF AD   2 2 2 1 1 1 AE AF AD  

Bài 6: Cho hình thoi ABCD có , tia Ax tạo với A 0 120 A  Tia AB góc , cắt BC, CD lần lượt tại M, N. AAx 15o B 

Chứng minh: 2 2 2 1 1 4 3 AM AN AB  

Giải: Từ A, dựng đường thẳng vuông góc với AN Cắt CD tại P, hạ . AH CD  Ta có : ( g – c – g) ABM ADP   )AM AP   Áp dụng hệ thức lượng cho A 0 : 90 , NAP NAP AH NP   

Ta có : nên (1) 2 2 2 1 1 1 AP AN AH   2 2 2 1 1 1 AM AN AH  

Mà AH2 = sinD.AD = sin600.AD = (2) 3 2 AB

Thay (2) và (1). Ta có : 2 2 2 1 1 1

3 2

AM AN

AB

 

     

2 2 2 1 1 4 3 AM AN AB   

ThuVienDeThi.com