Một số bài tập tổng hợp về căn thức bậc hai

MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ CĂN THỨC BẬC HAI

1. Chứng minh là số vô tỉ. 7 2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.

4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : . a b ab 2  

b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : bc ca ab a b c a b c     

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab. 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3. 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b. 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : a b a b   

9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 10. Chứng minh các bất đẳng thức :

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11. Tìm các giá trị của x sao cho :

a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1. 12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.

15. Rút gọn biểu thức : .    A 2 2 5 3 2 18 20 2 2     

16. Chứng minh rằng, n  Z+ , ta luôn có : .   1 1 1 1 .... 2 n 1 1 2 3 n      

17. Trục căn thức ở mẫu : . 1 1 a) b) 1 2 5 x x 1     18. Tính :

a) 5 3 29 6 20 b) 6 2 5 13 48 c) 5 3 29 12 5         

19. Cho . Chứng minh rằng a là số tự nhiên.    a 3 5. 3 5 10 2    

20. Cho . b có phải là số tự nhiên không ? 3 2 2 3 2 2 b

17 12 2 17 12 2

      21. Giải các phương trình sau :

         

a) 3 1 x x 4 3 0 b) 3 1 x 2 3 1 x 3 3

5 x 5 x x 3 x 3 c) 2 d) x x 5 5 5 x x 3

        

           

22. Tính giá trị của biểu thức : M 12 5 29 25 4 21 12 5 29 25 4 21        

23. Rút gọn : . 1 1 1 1 A ... 1 2 2 3 3 4 n 1 n         

ThuVienDeThi.com

24. Cho biểu thức : 1 1 1 1 P ... 2 3 3 4 4 5 2n 2n 1           a) Rút gọn P. b) P có phải là số hữu tỉ không ?

25. Tính : . 1 1 1 1 A ... 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100         

26. Chứng minh : . 1 1 1 1 ... n 2 3 n     

27. Chứng minh các đẳng thức sau :

     a) 4 15 10 6 4 15 2 b) 4 2 2 6 2 3 1       

     2 c) 3 5 3 5 10 2 8 d) 7 48 3 1 e) 17 4 9 4 5 5 2 2           

28. Chứng minh các bất đẳng thức sau :

5 5 5 5 a) 27 6 48 b) 10 0 5 5 5 5         

5 1 5 1 1 c) 3 4 2 0,2 1,01 0 3 1 5 3 1 3 5

                    2 3 1 2 3 3 3 1 d) 3 2 0 2 6 2 6 2 6 2 6 2

                 

e) 2 2 2 1 2 2 2 1 1,9 g) 17 12 2 2 3 1             

2 2 3 2 2 h) 3 5 7 3 5 7 3 i) 0,8 4          

29. Chứng minh rằng : . Từ đó suy ra: 1 2 n 1 2 n 2 n 2 n 1 n     

1 1 1 2004 1 ... 2005 2 3 1006009     

30. Trục căn thức ở mẫu : . 3 3 2 3 4 3 a) b) 2 3 6 8 4 2 2 4        

31. Cho . Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2. 3 2 3 2 x và y= 3 2 3 2   

 

32. Chứng minh bất đẳng thức sau : . 2002 2003 2002 2003 2003 2002   

33. Tính giá trị của biểu thức : với .

2 2 x 3xy y A x y 2      x 3 5 và y 3 5    

34. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức . 2 1 A

2 3 x 

 

35. Tìm giá trị nhỏ nhất của với 0 < x < 1. 2 1 A 1 x x   

36. Tìm GTLN của : biết x + y = 4 ; b) a) A x 1 y 2    y 2 x 1 B x y

   

37. Cho . So sánh a với b, số nào lớn hơn ? a 1997 1996 ; b 1998 1997    

ThuVienDeThi.com