Đề thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn năm học 2009 - 2010 môn Toán (dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên toán)

SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ

KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC: 2009 - 2010

Đề chính thức Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009

Câu 1: (2,0 điểm)

1. Cho số x thoả mãn điều kiện: x2 + = 7   0 ;   x R x 2 1 x

Tính giá trị các biểu thức: A = x3 + và B = x5 + 3 1 x 5 1 x

2. Giải hệ phương trình:

1 1 2 2

1 1 2 2

y x

x y

          

Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ( ) có hai nghiệm 2 0 ax bx c    0 a 

thoả mãn điều kiện: .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 2 , x x 1 2 0 2 x x   

2 2

2 2 3 2

a ab b Q a ab ac     

Câu 3: (2,0 điểm)

1. Giải phương trình: + + = 2  x 2009  y 2010  z ) ( 2 1 z y x  

2. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p2 +1 và 6p2 +1 cũng là số nguyên tố.

Câu 4: (3,0 điểm)

1. Cho hình vuông có hai đường chéo cắt nhau tại . Một đường ABCD E thẳng qua , cắt cạnh tại và cắt đường thẳng tại . Gọi là A BC M CD N K giao điểm của các đường thẳng và . Chứng minh rằng: . EM BN CK BN  2. Cho đường tròn (O) bán kính R=1 và một điểm A sao cho OA= .Vẽ các 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm).Một góc xOy có số đo bằng có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E. 0 45 Chứng minh rằng: . 1 2 2 2    DE

Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức ,trong đó bd ac d c b a P       2 2 2 2

. 1  bc ad

Chứng minh rằng: . 3  P

...Hết ...

ThuVienDeThi.com

Đáp án chính thức

Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)

Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 (Đáp án này gồm 04 trang)

SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ

KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC: 2009 - 2010

Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)

Câu ý Nội dung Điểm 1

1 Từ giả thiết suy ra: (x + )2 = 9  x + = 3 (do x > 0) x 1

x 1

 21 = (x + )(x2 + ) = (x3 + ) + (x + )  A = x3 + =18 x 1

2 1 x 3 1 x x 1

3 1 x

 7.18 = (x2 + )(x3 + ) = (x5 + ) + (x + ) 2 1 x 3 1 x 5 1 x x 1

 B = x5+ = 7.18 - 3 = 123 5 1 x

0.25

0.25

0.25

0.25

2 Từ hệ suy ra (2) x y y x

1 2 1 1 2 1     

Nếu thì nờn (2) xảy ra khi và chỉ khi x=y y x

1 1  x y

1 2 1 2   

thế vào hệ ta giải được x=1, y=1

0.5

0.5

2 Theo Viét, ta có: , . 1 2

b x x a   1 2 . c x x a 

Khi đó = ( Vì a 0)

2 2

2 2 3 2

a ab b Q a ab ac     

2 2 3.

2

b b a a b c a a

      

 



=

2 1 2 1 2

1 2 1 2

2 3( ) ( ) 2 ( ) x x x x x x x x       

Vì nên và 1 2 0 2 x x   

2 1 1 2 x x x 

2 2 4 x 



2 2 1 2 1 2 4 x x x x     

2

1 2 1 2 3 4 x x x x    

Do đó 1 2 1 2

1 2 1 2

2 3( ) 3 4 3 2 ( ) x x x x Q x x x x         

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

ThuVienDeThi.com

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc 1 2 2 x x   1 2 0, 2 x x  

Tức là Vậy max =3

4

4 4

2 2 0

0

b a c c b a a b a b c a c a

                          

     

Q

0.25

0.25

3

1 ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010

Phương trình đã cho tương đương với:

x + y + z = 2 +2 +2 2  x 2009  y 2010  z

 ( - 1)2 + ( - 1)2 + ( - 1)2 = 0 2  x 2009  y 2010  z

- 1 = 0 x = 3 2  x

- 1 = 0  y = - 2008 2009  y

- 1 = 0 z = 2011 2010  z

0.25

0.25

0.25

0.25

2 Nhận xét: p là số nguyên tố  4p2 + 1 > 5 và 6p2 + 1 > 5

Đặt x = 4p2 + 1 = 5p2- (p - 1)(p + 1)

y = 6p2 + 1  4y = 25p2 – (p - 2)(p + 2)

Khi đó:

- Nếu p chia cho 5 dư 4 hoặc dư 1 thì (p - 1)(p + 1) chia hết cho 5

 x chia hết cho 5 mà x > 5  x không là số nguyên tố

- Nếu p chia cho 5 dư 3 hoặc dư 2 thì (p - 2)(p + 2) chia hết cho 5

 4y chia hết cho 5 mà UCLN(4, 5) = 1  y chia hết cho 5 mà

y > 5

 y không là số nguyên tố

Vậy p chia hết cho 5, mà p là số nguyên tố  p = 5

Thử với p =5 thì x =101, y =151 là các số nguyên tố

0.25

0.25

0.25

0.25

ThuVienDeThi.com