Bài tập Tổng hợp - Nâng cao về Đa thức

Văn Phú Quốc- GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm (Quảng Nam)

BÀI TẬP TỔNG HỢP-NÂNG CAO VỀ ĐA THỨC

Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm- Quảng Nam

(Di động: 0982 333 443 hoặc 0982 333 443)

Bài 1. Cho đa thức f(x) = a1sinx + a2sin(2x) +…+ ansin(nx) với ai , * n .

biết | f(x)| ≤ | sin(nx) | ,  x . Chứng minh rằng | a1 + 2a2 +…+ nan | ≤ n.

Lời giải Ta có: f’(x) = a1cosx + 2a2cos (2x) +…+ nancos (nx) . f’(0) = a1 + 2a2 +…+ nan (1)

Do f’(0) = lim lim 0 0

(0)

0

    x x

f(x) - f f(x)

x x

.

Vì | f’(0) |=| lim

0  x

f(x)

x

| ≤ lim lim 0 0   

f(x)

x x x

| f(x)|

| x|

≤ lim

0

sin( ) n   x

| nx | | x|

(2)

Từ (1), (2) được điều phải chứng minh.

Bài 2.Giả sử với hai số dương b a, thì đa thức 3 2 x ax bx a    có các nghiệm đều

lớn hơn 1. Xác định giá trị của b a, để biểu thức n

n n

a b P 3   đạt giá trị nhỏ nhất và

tìm giá trị nhỏ nhất đó (n là số nguyên dương cho trước).

Lời giải

Gọi 3 2 1 , , x x x là các nghiệm của đa thức đã cho.

Theo định lý Vi-et ta có









  

  

a x x x

b x x x x x x

a x x x

3 2 1

1 3 3 2 2 1

3 2 1

Theo bất đẳng thức AM - GM ta được

3

3 2 1 3 2 1 3 x x x x x x    hay 33 a a   (*) 3 3  a

Theo bất đẳng thức R z y x zx yz xy z y x        , , ); ( 3 ) ( 2

thì ) ( 3 ) ( 3 2 1 3 2 1 2 1 3 3 2 2 1 2 x x x x x x x x x x x x b      

hay . 3 3 2 2 a b a b   

Suy ra n

n n n

n n n

n n n

n

n n

a a a a b P

) 3 3 (

3 3 3 3 3 3 3         , do (*)

Do đó ta có

n

n P

3

1 3  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .9 3 ;3 3    a b a Khi đó phương trình có ba

nghiệm trùng nhau và đều bằng .3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

n

n

3

1 3  khi

.9 ; 3 3   b a

www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam

www.DeThiThuDaiHoc.com

ThuVienDeThi.com

Văn Phú Quốc- GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm (Quảng Nam)

Bài 3. Tìm tất cả các đa thức  P x với hệ số thực thỏa

mãn:      2 3 2 3 3 1 6 7 16 3 , . P x x P x P x x x x        

Lời giải

Nhận xét:

Nếu  P x là đa thức hằng thì   0, 1 P x P x   và  2 1, P x x x    là đa

thức bậc nhất duy nhất thỏa mãn.

Giả sử   * deg . P n n   Gọi n a   0 n a  là hệ số bậc cao nhất cuả  P x , căn

bằng hệ số bậc cao nhất hai vế của phương trình:

 

2 3 6 2 n n n n n n a a a    .

Đặt     2 1

n P x x Q x    . Giả sử   degQ k n k   

Thay vào phương trình hàm ban đầu:

      

   

      

    

2 2

3 2 3 2

2 2

2 3 2

2 2 5 3 6 1 3 1

12 14 32 5 6 7 16 3 ,

6 1 3 2 2 5 3 1

3 3 1 6 7 16 3 ,

n n

n

n n

x x Q x x x Q x

x x x Q x x x x

x Q x x x x Q x

Q x x Q x Q x x x x

                     

        

       

        





Khi đó bậc của đa thức vế trái trong phương trình trên là: 2n k  , trong khi đó bậc đa

thức vế phải là 3 2 k n k   (vô lý). Vậy  0 Q x  .

Kết luận: Tất cả các đa thức thỏa là:

      * 0, 1, 2 1 . n P x P x P x x n     

Bài 4. Cho 3 tam thức bậc hai ( ), ( ), ( ) f x g x h x . Hỏi đa thức ( ) ( ( ( ))) P x f g h x 

có thể nhận cả 8 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 làm nghiệm được không?

Lời giải

Không giảm tổng quát, có thể coi hệ số của 2x ở ( ), ( ) f x g x đều là 1.

Giả sử ( ) ( ( ( ))) P x f g h x  nhận cả 8 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 làm nghiệm .

www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam

www.DeThiThuDaiHoc.com

ThuVienDeThi.com