Xem trước nội dung
BẤT ĐẲNG THỨC
Dùng định nghĩa
Chứng minh các bất đẳng thức sau 1.Cho a,b,c,d > 0
a) nếu a < b thì < b) nếu a > a
b
a + c
b + c
b thì > a
b
a + c
b + c
c) 1 < < 2 a
a + b +
b
b + c +
c
c + a d) 2 <
a + b
a + b + c +
b + c
b + c + d +
c + d
c + d + a +
d + a
d + a + b < 3
2.Cho < và b,d > 0, Chứng minh rằng < a
b
c
d
a
b
< a + c
b + d
c
d 3.Chứng minh rằng a , b ,c a) a2 – ab + b2 ≥ ab b) a2 + 9 ≥ 6a c) a2 + 1 > a d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ 0 e) 2abc a2 + b2c2 f) (a + b)2 ≥ 4ab g) a2 + ab + b2 ≥ 0 h) a4 + b4 ≥ a3b + ab3
i) 4ab(a – b)2 (a2 – b2)2 j) a2 + 2b2 + 2ab + b + 1 > 0
k) ≥ l) 2 + a2(1 + b2) ≥ a
b +
b
a
a + b
2a(1 + b)
m) n) ( )2 o) a2
1 + a4
1
2
a + b
2
a2 + b2
2
≥ ( )2 a2 + b2 + c2
3
a + b + c
3
p) + b2 + c2 ≥ ab – ac + 2bc q) a4 + b4 + c2 a2
4 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) r) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) s) 2a2 + 4b2 + c2 ≥ 4ab + 2ac
t) a2 + ab + b2 ≥ (a + b)2 u) a + b + 2a2 + 2b2 3
4 ≥ 2ab + 2b + 2a a b v) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 4.Cho a ,b [– 1;1] . Chứng minh rằng : |a + b| |1 + ab|
4.a)Chứng minh rằng: nếu x ≥ y ≥ 0 thì x
1 + x
≥ y
1 + y b)Chứng minh rằng: với hai số a và b tùy ý ta có
≤ + |a – b|
1 + |a – b|
|a|
1 + |a|
|b|
1 + |b|
5.Cho a ≥ 2 , b ≥ 2. Chứng minh rằng : ab ≥ a + b 6.Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – + x – + x5 x 1 > 0 6.Cho ba số a ,b ,c [0;1],chứng minh rằng : a + b + c – ab – bc – ca 1 4.Cho 0 < a b c . Chứng minh rằng : b(
) + (a + c) ( )(a + c) 1
a +
1
c
1
b
1
a +
1
c 5.Cho a > b > 0 và c ≥ . Chứng minh rằng ab
≥ c + a
c2 + a2
c + b
c2 + b2 5.Cho a + b + c 0. Chứng minh rằng :
≥ 0 a3 + b3 + c3 – 3abc
a + b + c 5.Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh rằng :
+ + 1
a3 + b3 + abc
1
b3 + c3 + abc
1
c3 + a3 + abc
1
abc 4.Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Chứng minh rằng : a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2 b) a2 – b2 + c2 – d2 ≥ (a – b + c – d)2 5.a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh rằng :
≥ 1
1 + a2 +
1
1 + b2
2
1 + ab a) Cho a ≥ 1, b ≥ 1 .Chứng minh rằng :
≥ 1
1 + a3 +
1
1 + b3 +
1
1 + c3
3
1 + abc a) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh
rằng : ≥ 1
1 + 4x +
1
1 + 4y
2
1 + 2x + y 6. a,b,c,d chứng minh rằng a) ≥ a2 + b2 + c2 + d2 (a + c)2 + (b + d)2 b) 1 <
a
a + b + c +
b
a + b + d +
c
b + c + d +
d
a + c + < 2 7.Cho a ,b ,c là độ dài các cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :
a) < 1 a
b +
b
c +
c
a –
a
c –
c
b –
b
a b) abc < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) c) a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 > a3 + b3 + c3 *d) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0 *e) (a + b + c)2 9bc với a b c *f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc 8. Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ 2 ,chứng minh rằng : a4 + b4 ≥ a3 + b3 *9.Cho a ,b ,c ≥ 0 , chứng minh rằng :
ThuVienDeThi.com
a) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc b) a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab c) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0 *10. Cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh một tam giác,với a b c Chứng minh rằng : (a + b + c)2 9bc *.Cho tam giác ABC,chứng minh rằng :
≥ aA + bB + cC
a + b + c
3 *.Cho a ,b ,c [0;2] . Chứng minh rằng : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca) 4
. Chứng minh rằng : + + + …+ 1
1.2
1
2.3
1
3.4
< 1 n N 1
n(n + 1)
. Chứng minh rằng : + + + …+ < 1 1
2!
2
3!
3
4!
n – 1
n! n N n ≥ 2 *.Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng :
a + b + c 3 1
abc .Cho 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng : a) a2 + b2 + c2 ≥ 3 b) a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3
Bất đẳng thức Cauchy
1.Cho hai số a ≥ 0 , b ≥ 0 Chứng minh rằng :
a) ≥ 2 a , b > 0 b) a2b + ≥ 2a b > 0 a
b +
b
a
1
b
c) ≥ 1 2a2 + 1
4a2 + 1 d) a3 + b3 ≥ ab(a + b) e) a4 + a3b + ab + b2 ≥ 4a2b f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + )2 ab
h) i) ≥ j) a2
a4 + 1
1
2
1
a +
1
b
4
a + b
+ ≥ + + 1
a +
1
b
1
c
2
a + b
2
b + c
2
c + a
j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + )2 h) ≥ 2 ab a2 + 2
a2 + 1
k) ≥ 3a2b3 – 16 a6 + b9
4
l) ≥ 4 m) ≥ a2 + 6
a2 + …
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
