Đề thi chọn học sinh năng khiếu môn Toán - Lớp 9

PHÒNG GD-ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU VĨNH LINH MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian 120 phút (không kể giao đề)

Bài 1 (2,0 đ):

Tìm hai số nguyên dương x và y sao cho tổng của mỗi số với 1 thì chia hết cho số kia.

Bài 2 (1,75 điểm):

Giải phương trình: x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1        

Bài 3 (1,75 điểm):

Cho a, b, c là các số lớn hơn 0. Chứng minh rằng:

bc + ac + ab 9 abc a + b + c 

Bài 4 (1,50 điểm): Cho x > 0, y > 0. Chứng minh rằng:

1 1 4 x y x + y  

Bài 5 (3,0 điểm):

Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. Tính góc BMK ?

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1 (2,0 đ): Tìm hai số nguyên dương x và y sao cho tổng của mỗi số với 1 thì chia hết cho số kia.

Theo giả thiết ta có: (0,125 đ)    

x + 1 y

y + 1 x

 





Do đó ta có: (0,125 đ)    x + 1 . y + 1 xy 

(0,125 đ)   xy + x + y + 1 xy    

(0,125 đ)   x + y + 1 xy  

(n ) (*) (0,125 đ) x + y + 1 = nxy  Z 

(1) (0,125 đ) 1 1 1 n x y xy    

Giả sử 1 1 1 1 x y 1 khi đó ta có ; x y xy y    

Do đó: (0,125 đ) 1 1 1 1 1 1 3 x y xy y y y y      

Hay: (2) (0,125 đ) 1 1 1 3 x y xy y   

Từ (1) và (2) ta suy ra: (0,125 đ) 3 n y 3 y   

Vậy y = 1; 2; 3 (0,125 đ) + Với y = 1, thay vào (*) ta có x + 2 = nx (0,125 đ) x(n - 1) = 2  Do đó: x = 1; 2 (0,125 đ) + Với y = 2, thay vào (*) ta có x + 3 = 2nx (0,125 đ) x(2n - 1) = 3  Ta có x (0,125 đ) n; y = 2 nên x n x = 3   

+ Với y = 3 => x > 3 => (0,125 đ) 1 1 1 1 Do đó n < 1 (loại) x y xy   

Vậy bộ các số nguyên dương x, y là:(1;1); (1;2); (2;1); (3;2); (2;3) (0,125 đ)

Bài 2 (1,75 điểm):

Giải phương trình: x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1        

Ta có: * (0,125 đ) x 3 4 x 1 (x - 1) - 4 x - 1 4     

(0,125 đ)  

2 x - 1 2 x - 1 2    

* (0125 đ)   x 8 6 x 1 x - 1 6 x - 1 9      

(0,125 đ)  

2 x - 1 3 x - 1 3    

Phương trình đã cho trở thành: (0,25 đ) x - 1 2 x - 1 3 1    

(0,25 đ) 2 x - 1 3   

ThuVienDeThi.com

(0,50 đ) 5 x 10    Vậy nghiệm của PT đã cho là: (0,25 đ) 5 x 10    Bài 3 (1,75 điểm): Cho a, b, c là các số lớn hơn 0. Chứng minh rằng:

bc + ac + ab 9 abc a + b + c 

Để giải quyết bài toán trên, ta giải quyết bài toán sau: Cho a, b, c là các số lớn hơn 0.

Chứng minh rằng:   bc + ac + ab a + b + c 9 0 abc   

Tacó: (0,25 đ)   bc + ac + ab a + b + c 9 abc      bc + ac + ab a + b + c 9 abc

  

(0,125 đ)

2 2 2 2 2 2 abc + b c + bc a c +abc + ac a b + ab abc 9 abc     

(0,25 đ)       2 2 2 2 2 2 c a b b c a a b c 3abc 9 abc

       

(0,125 đ)     2 2 2 2 2 2 a b a c 6 ab ac bc

c b       

(0,125 đ)       2 2 2 2 2 2 a b a c 2 2 2 ab ac bc

c b                                 

= (0,125 đ)

2 2 2 2 2 2 a b 2ab a c 2ac b c 2bc ab ac bc        

= (0,125 đ)       2 2 2 a + b a + c b + c

ab ac bc  

Vì ; ; (0,125 đ)  

2 a + b 0 ab   

2 a + b 0 ab   

2 a + b 0 ab 

Nên: = (0,125 đ)       2 2 2 a + b a + c b + c 0 ab ac bc   

Suy ra (0,125 đ)   bc + ac + ab a + b + c 9 0 abc   

Hay (0,25 đ) bc + ac + ab 9 abc a + b + c 

Bài 4 (1,50 điểm): Cho x > 0, y > 0. Chứng minh rằng:

1 1 4 x y x + y  

Ta có: (0,25 đ)     x + y y + x + y x - 4xy 1 1 4 x y x + y xy(x + y)   

(0,25 đ)

2 2 xy + y + x + xy - 4xy

xy(x + y) 

(0,25 đ)

2 2 x - 2xy + y

xy(x + y) 

ThuVienDeThi.com