Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2015 - 2016 môn Toán 9

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

TIỀN HẢI

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016

m¤N: TOÁN 9 (Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (4,0 điểm)

Cho biểu thức với 1 x x x 1 2 x 1 A . : x 1 x x 1 x 1 x 3 x 4

æ ö + + + ÷ ç ÷ = + ç ÷ ç ÷ ç - - + + - è ø

x 0, x 1 ³ ¹

a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các số hữu tỉ x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2 x 6x 9 3 2x - + = - b) Tìm các cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn: x2 – y2 + 7x = 0

Bài 3 (5,0 điểm)

1) Cho hệ phương trình: (với m là tham số). ( )

mx y 2m 1

2m 1 x 7y m 3

ì + = - ïïíï + + = + ïî

a) Giải hệ phương trình với m = . 1 2 b) Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. c) Khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

2) Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 2 (với m > 1). Biết đồ thị của hàm số trên cắt hai trục tọa độ tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm m để diện tích tam giác OAB nhỏ nhất.

Bài 4 (5,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm E (E khác A và D), vẽ đường tròn tâm O đường kính BE. Đường tròn (O) cắt BC tại điểm thứ hai là M. Trên cạnh CD Lấy điểm N sao cho CN = CM. Gọi F là giao điểm của BN và CE.

a) Chứng minh rằng F thuộc đường tròn (O). b) Đường tròn (O) cắt AC tại điểm thứ hai là I. Chứng minh ΔIBE vuông cân. c) Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt đường thẳng EI tại K. Chứng minh ba điểm K, C, D thẳng hàng.

Bài 5 (2,0 điểm)

Cho tam giác có độ dài các cạnh là a, b, c và diện tích của tam giác là t, thỏa mãn: . Chứng minh tam giác đó là tam giác vuông. ( )( ) a b c a b c 4t + + + - =

Họ và tên thí sinh:...................................................................................

Số báo danh: ............................Phòng.....................................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

Bài Nội dung Điểm

Bài 1

(4đ)

Cho biểu thức 1 x x x 1 2 x 1 A . : x 1 x x 1 x 1 x 3 x 4

æ ö + + + ÷ ç ÷ = + ç ÷ ç ÷ ç - - + + - è ø với x 0, x 1 ³ ¹ a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các số hữu tỉ x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. Với điều kiện ta có: x 0, x 1 ³ ¹

( )( ) ( )( )

1 x x x 1 2 x 1 A . : x 1 x x 1 x 1 x 3 x 4

1 x x x 1 2 x 1 . : x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 4

æ ö + + + ÷ ç ÷ = + ç ÷ ç ÷ ç - - + + - è ø æ ö÷ ç + + + ÷ ç ÷ = + ç ÷ ç ÷ ç - + - + + - + ÷÷ çè ø

0.75

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

x 1 x 4 1 x . x 1 2 x 1 x 1 x 1

x 1 x 4 x 1 x .

2 x 1 x 1 x 1

æ ö - + ÷ ç ÷ ç ÷ = + ç ÷ ç ÷ ç - + - + ÷÷ çè ø

- + + + =

+ - +

0.75

( )( )

( )( ) x 1 x 4 2 x 1 x 4 .

2 x 1 x 1 x 1 x 1

- + + + = = + + - +

0.75

a)

Vậy với điều kiện thì x 0, x 1 ³ ¹ x 4 A

x 1 + =

+ 0.25

Theo câu a, ta có: với x 4 A

x 1 + =

+

x 0, x 1 ³ ¹

Ta có: x 4 3 A 1 4 x 1 x 1 + = = + £ + +

0.5

. Vì A nguyên nên A có thể là 2; 3; 4 1 A 4 Þ < £ 0.5

b)

Tìm được và kết luận các giá trị của x cần tìm là: 0; ¼ ; 1 0.5 Bài 2

(4đ)

a) Giải phương trình: 2 x 6x 9 3 2x - + = - b) Tìm cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn x2 – y2 + 7x = 0 ĐKXĐ: x R Î 0.25

Ta có: ( )

2 2 x 6x 9 3 2x x 3 3 2x x 3 3 2x - + = - Û - = - Û - = - 0.5

 Nếu (loại) x 3 x 3 3 2x x 2 ³ Þ - = - Û = 0.5  Nếu (t/m) x 3 3 x 3 2x x 0 < Þ - = - Û = 0.5

a)

Vậy S={0} 0.25 Giả sử tồn tại cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn x2 – y2 + 7x = 0 (*)

4x2 – 4y2 + 28x = 0 4x2 + 28x + 49 – 4y2 = 49 Û Û 0.25

(2x + 7)2 – (2y)2 = 49 (2x – 2y + 7)(2x + 2y + 7) = 49 Û Û 0.5 Vì x 0, y 0 2x + 2y + 7 > 0 2x – 2y + 7 > 0   Þ Þ Nên ta có: 2x + 2y + 7 2x – 2y + 7 > 0 ³ 0.25 b)

Mà 49 = 1.49 = 7.7 là các cách viết số 49 thành tích của 2 số nguyên dương nên 0.25

ThuVienDeThi.com