Xem trước nội dung
Đề thi HSG cấp huyện năm học 2009 – 2010.
Phòng giáo dục yên định Trường THCS Yên Lạc Đề thi môn : Toán. Thời gian làm bài : 150 phút.
Người ra đề : Trịnh Văn Hùng. Người Thẩm định đề: Trịnh Văn Bằng, Trần Tuyết Anh, Lưu Vũ Chếnh
Bài 1:( 4 điểm ) . Cho biểu thức
2
2 2x x 1 P(x) 3x 4x 1 a) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x). b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(- x) < 0. Bài 2. ( 3 điểm ) Cho hệ phương trình
2 ( 1) 2 1
2
m x my m
mx y m
a) Giải hệ phương trình với m = 2 b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn nhất
Bài 3. ( 4 điểm ). Cho hàm số : y= mx -2m -1 ( m 0 ) . (1). a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn luôn đi qua một điểm cố dịnh khi m thay đổi. b) Tính theo m tọa độ các giao điểm A, B của đồ thị hàm số (1) lần lượt với các
trục Ox và Oy . Xác định m để tam giác AOB có diện tích bằng ( đ.v.d.t) 2 1
Bài 4. ( 3 điểm ) . Cho tam giác nhọn ABC ; BC = a; CA = b; AB = c. Chứng minh rằng : b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB
Bài 5. ( 4 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 . Vẽ đường tròn đường kính AC có tâm O, đường tròn này cắt BA và BC tại D và E.
1. Chứng minh AE = EB. 2. Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH. 3. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE.
Bài 6. ( 2 điểm ) CMR, n ≥ 1 , n N : 1 1 1 1 ... 2 2 3 2 4 3 (n 1) n
ThuVienDeThi.com
Đề thi HSG cấp huyện năm học 2009 – 2010.
Hướng dẫn chấm
Câu Tóm tắt lời giải Điểm
1
(4 ®)
a) P(x) xác định khi 3x2- 4x+1 0 (x-1)(3x-1) 0 x 1; x . 3
1
= =
2
2 2x x 1 P(x) 3x 4x 1 )1 3 )( 1 (
1 2
x x
x x
0 1 1
1 3
1
khix x
o khix x
b) x > 1 thì = =
2
2 2x x 1 P(x) 3x 4x 1 )1 3 )( 1 (
1 2
x x
x x
1 3
1
x
P(x) .P(- x) = . = < 0. ( vì 9x2-1>0 với x>1) 1 3
1
x 1 ) (3
1
x 1 9
1 )1 3 )( 1 3 (
1
2
x x x
0.5
2,0
0.5
1,0
2
(3 ®)
a) Với m=2 ta có hệ ;
2 2
3 2 3
y x
y x
giải hệ ta được x=1; y=0.
b) 2 ( 1) 2 1
2
m x my m
mx y m
2
1 )1 (
2
1 2 ) 2 ( )1 (
2
3 2
2
2
m mx y
m x m m
m mx y
m m mx m x m
( vì m2+m+1 = (m+1/2)2+3/4 3/4 nên m2+m+1 0.)
m y
m x
2
1
x.y = (m-1)(2-m) = -m2+3m-2 = - (m-3/2)2+1/4 1/4. Dấu “=” xảy ra khi m=3/2 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y sao cho x.y lớn nhất khi m=3/2.
1
1
0,5
0,5
3
(4 ®)
a) Gọi (d) : y= mx – 2m -1. I(x0;y0) là điểm cố định của (d) nên I (d) với mọi m. Nên y0= m x0-2m-1 với mọi m.
y0+1= m (x0-2) với mọi m.
2
1
0 2
0 1
0
0
0
0
x
y
x
y
Vậy I(2;-1) là điểm cố định của (d).
0,5
0,5
0,5
0,5
ThuVienDeThi.com
Đề thi HSG cấp huyện năm học 2009 – 2010.
b) điểm A và B (0;-2m-1) ) 0; 1 2 ( m m
SAOB =2 OA.OB = 4m2+4m +1 = 2 1 2 1 1 )1 2 ( 2
m m m
+ Nếu m > 0 4m2+3m +1 = 0 ; vô nghiệm.
+ Nếu m< 0 4m2+5m +1 = 0 (m+1)(4m+1) = 0 m=-1 ; m= . 4
1
0,5
0,5
0,5
0,5
4
(3 ®)
Kẻ AH BC. Tam giác AHC vuông ë H . ta có AC2 = AH2 + HC2
= AH2+ (BC- BH )2 = AH2 +BC2 + HB2 -2BC.BH = (AH2+HB2 ) +a2-2a.HB (1) Trong tam giác vuông AHB ta có: AH2+HB2 = AB2 = c2
HB = AB . cosB = c. cosB (2). Từ (1) và (2) ta suy ra b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB
0,5
1,0
1,0
05
5
(4 ®)
1. AEC = 900 (Góc của tam giác có cạnh là đường kính ) => AEB = 900 ( vì là hai góc kề bù); Theo giả thiết ABE = 450
=> AEB là tam giác vuông cân tại E => EA = EB.
2. Gọi K là trung điểm của HE (1) ; I là trung điểm của HB => IK là đường trung bình của tam giác HBE
=> IK // BE mà AEC = 900 nên BE HE tại E => IK HE tại K (2). Từ (1) và (2) => IK là trung trực của HE . Vậy trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH.
3. Theo trên I thuộc trung trực của HE => IE = IH mà I là trung điểm của BH => IE = IB. ADC = …
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
