Đề thi môn Toán 9 - Trường THCS Yên Phong

Trường: THCS Yên Phong Đề thi môn: Toán. Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Họ và tên người ra đề: Vũ Thị Mỹ Hòa.

Đề thi

Câu 1: (4 điểm) Rút gọn biểu thức sau:

a) với x 0, x 3. 3 3 3 ( 2 ) 3 3 3 x x x M x x x x       

 

b) . (49 20 6)(5 2 6) 5 2 6 9 3 11 2 N    

 Câu 2: (4 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

1 5 1

1 5

x y

x y

          b) Cho các điểm A(7;2) ; B(2;8) và C(8;4) xác định đường thẳng (d) đi qua A sao cho các điểm B và C nằm về hai phía của (d) và cách đều (d). Câu 3: (5 điểm) a) Chứng minh rằng nếu các số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì

1 1 1 9 a b c   

b) Cho các số a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=0. Chứng minh rằng: 2(a5+b5+c5)= 5abc(a2 +b2 + c2 ) Câu 4: ( 5điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC và điểm A trên nửa đường tròn(A khác B và C). Kẻ AH vuông góc với BC. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ 2 nửa đường tròn (O1) và (O2) đường kính BH và CH chúng lần lượt cắt AB, AC ë E và F.

a) Chứng minh: AE.AB = AF.AC. b) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2). c) Gọi I và K lần lượt là các điểm đối xứng của H qua AB và AC. Chứng minh 3 điểm I, A, K thẳng hàng. d) Gọi M là giao điểm của IK với tiếp tuyến kẻ từ B của đường tròn (O). Chứng minh MC, AH và EF đồng qui.

Câu 5: (2 điểm) Cho 1 1 1 1 ... 1.2009 2.2008 3.2007 2009.1 S     

So sánh S với . 2009 2. 2010

ThuVienDeThi.com

Hướng dẫn chấm

Câu Nội dung Điểm

1a)

3 3 3 ( 2 ). 3 3 3

( 3)( 3 3) 3 2 3 3 3

3 ( 3)

( 3)( 3) 1

x x x M x x x x

x x x x x x x x

x x

x x

      

              

  

  

0,5

0,5

0,5

0,5

1b)

2 2

2

2 2

(49 20 6)(5 2 6) 5 2 6 9 3 11 2

(5 2 6) (5 2 6) ( 3 2)

9 3 11 2

(5 2 6)( 3 2) ( 3 2) .( 3 2) 9 3 11 2 9 3 11 2

( 3 2)(9 3 11 2) 5 2 6 (9 3) (11 2)

N    



   



        

     

0,5

0,5

0,5

0,5

2a) Trừ vÕ với vÕ của phương trình (1) cho phương trình (2) ta có

hệ phương trình tương đương

5 6

1 5

y y

x y

         2 11

1 5

5,5 1,5; 0,5

y

x y

y x x

      

     Vậy hệ có 2 nghiệm (0,5;5,50; (1,5;5,5)

0,5

0,5

0,5

0,5 2b) Gọi đường thẳng d là y=ax+b. Điểm A( 7;2) thuộc d nên 2=7a+b(1) Đường d cắt đường thẳng song song với trục hoành tại B là M tại C là. 16 Gọi BH, CK là đường thẳng vuông góc với d tại B và C . Ta có BH=CK nên BM=CN=m Ta có M(2+m;8) H và N(8-m;4). 8 B M Vì M và N thuộc d nên 8=a(2+m) +b (2) 4 N 4=a(8-m) +b (3) K C Từ (1),(2) và (3) ta có 2 A a=-2;b=16 và m=2 Đường thẳng d phải tìm là y=-2x+16 2 7 8

0,5

0,5

0,5

0,5

ThuVienDeThi.com

G

O O

K

B C O

A

E

F I

M

3a) Ta có vì a+b+c=1 nên

1 1 1

3

3 2 2 2 9

a b c a b c a b c a b c a b c b a c b c a a b b c a c

          

      

     Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1/3

0,5

0,5

0,5 0,5 3b) Ta có a+b+c=0 nên a+b=-c .Do đó a+b=-c nên( a+b)3=-c3 Suy ra a3+b3+c3= 3abc;a2+b2=c2-2ab; a2+c2=b2-2ac; c2+b2=a2-2bc Nên 3abc(a2+b2+c2)= (a3+b3+c3) (a2+b2+c2) = (a5+b5+c5)+a3(b2+c2)+ b3(a2+c2)+ c3(b2+a2) = (a5+b5+c5)+a3(a2-2bc)+ b3(b2-2ac) +c3(c2-2ab) =2(a5+b5+c5)-2abc(a2+b2+c2) Vậy 3abc(a2+b2+c2)= 2(a5+b5+c5)-2abc(a2+b2+c2)

Hay 2(a5+b5+c5)= 5abc(a2 +b2 + c2 )

0,5

0,5

0,5

0,5 4 a)AE.AB=AF.AC=AH2 b) C/m suy ra ( . . ) GEO GHO c c c  A A

nên EF là tiếp 0 1 1 90 GEO IHO    Tuyến của đường tròn (O) Tương tự EF là tiếp tuyến của đường tròn (O1) c)C/m EF//AK và EF//AI suy ra A,I và K thẳng hàng. d) C/m AH cắt EF tại trung điểm G của AH( Vì AEHF là hình chò nhật) và MC cắt AH tại trung điểm G của AH ( Vì AH// MB và AB//HF nên

nên AM//GF G là trung điểm của AH) GM BH AF GC CH FC  

Suy ra 3 đường EF, AH và MC đồng qui

1

0,5

0,5 1 0,5

0,5

0,5

0,5

5 áp dụng bất đẳng thức Co-si cho 2 số không âm a và b ta có

dấu bằng xảy ra khi a=b 1 2 2

2 a b ab a b ab     

Ta có

1 2 2 1 2009 2010 1.2009

1 2 2 2 2008 2010 2.2008 ...........

1 2 2 1 2009 2010 2009.1

  

  

  

Nên > 1 1 1 1 ... 1.2009 2.2008 3.2007 2009.1 S …