Đề thi môn Toán 9 có đáp án

Đề Thi môn: Toán Câu1: (4 điểm) Cho biểu thức

  2 3 3 3 2 3 1 3

x x x x p

x x x x

          a) Rút gọn P b) Tính giá trị của biểu thức P với x = 14 - 6 . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P 5 Câu 2: (4 điểm) 1) Cho đường thẳng y = (m-2)x + 2 (d) a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với m.  2) Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm M có toà độ

xM = (m là tham số) 1 2 m 

yM = 1 2 m 

Tìm quỹ tích các điểm M. Câu 3: (5 điểm) 1) Giải hệ phương trình

5 24

7 24 1 4

x y xyz y z xyz x z xyz

 

 

 

2) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 - 4xy + 5y2 = 169 Câu 4: (5 điểm) Cho đường tròn (0) đường kính AB. Gọi K là điểm chính giữa của cung AB, M là điểm di chuyển trên cung nhỏ AK(M A và K). lấy điểm N trên đoạn BM sao cho BN = Am  a) CM: MKN vuông cân b) Đường thẳng AM cắt đường thẳng OK tại D. Chứng minh MK là đường phân giác của DMN.  c) Chứng minh đường thẳng với BM tại N luôn đi qua một điểm cố định.  Câu 5: (2 điểm) Cho các số dương a,b,c,d. Chứng minh:

2 a b c b c a c a b      

Hướng dẫn chấm

Câu ý Nội dung cơ bản Điểm

a)

ĐKXĐ: x 0; x 9  

 

  

 

   

2

2 3 3 3 2 3 1 3

2 3 3 3 1 3 1 3

8 3 2 3 3 1

1

x x x x p

x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x

         

         

       



0.25

0,5

0,5

1

b)  

2 58 2 5 14 6 5 5 3 3 5 11 x P         

0,5

0,5

ThuVienDeThi.com

c)

8 1 9 9 1 1 1 1 9 1 2 2 9 2 4 1

x x p x x x x

x

x

        

       (áp dụng BĐT côsi)dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

. Vậy min p = 4 khi x = 4 9 1 4 1 x x x    

0,5

0,5

0,5

0,25

1,a

y = (m-2)x+2 (d) Để dường thẳng (d) đi qua điểm cố định với m thì  xm - 2x + 2 - y = 0 có nghiệm với m  x = 0 x = 0   -2x + 2 - y = 0 y = 2 Vậy (d) đi qua N (0,2) cố định

0,5 0,5

0,25

2

1,b

Gọi A,B theo thứ tự là giao điểm của (d) với trục hoành và trục tung. Ta tính được

2 ; 2 2 OA OB m    Gọi OH là khoảng cách từ O đến AB, ta có

 

2

2 2 2

2

2 2

1 1 1 4 5 4 4 4 4 4 3 2 1

m m OH OA OB

OH m m m

    

        Vậy OH lớp nhất = 2 khi m = 2

0,25

0,25

0,5

0,5

0,25

2 2

1

2 1 2

1 2 1 2 2 2 2 1 0

M

M

M M

M M M M

m y x m

m y m x

x y x y

                       Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng x - y + 1 = 0

0,25

0,5 0,25

1





5 1 1 5 24 24 1 1 1 1 1 4 4 7 1 1 7 24 24

1 1 1 3 1 1 1 3 2 2 4 8

x y xyz yz xz x z xyz yz xy y z xyz xy xz

xz yz xy xz yz xy

                                                   Kết hợp (1) và (2) ta có

hoặc

2 2 2 6 2

8 576 24 3

12 4

2

3

4

xy x

xz x y z xyz y

yz z

x

y

z

                           

0,75

0,75

0,5

0,25

0,25

3

2 x2 - 4xy + 5y2 = 169

(x - 2y)2+ y2 = 169  Ta có: 169 = 132 + 02 = 122 + 52 mà y z *  2 x y N  

0.25

0.5

ThuVienDeThi.com

* 2 0 26

13 13

x y x

y y

             

* hoặc 2 5 19

12 12

x y x

y y

             

29 12 x

y

    

* hoặc (loại) 2 12 22

5 5

x y x

y y

             

2

5

x

y

     Kết luận (x;y) = ( 26; 13); (29;12); (19;12); (22;5)

0.5

0.5

0.5

0.25

a

tam giác AMK = tam giác BNK (c.g.c) Suy ra góc AMK = góc BNK (cặp góc tương ứng)

x

I

N

K

M

D

B O A

Ta có góc AKB = 900 AKM = BKN (theo câu a)   Suy ra góc NKM = 900, Mặt khác MK = NK ( AMK = BNK)   Suy ra NKM vuông cân tại K. 

0.5 0.25

0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

c

Ta có KMD = KAM + MKA (tính chất góc ngoài của tam    giác)

= (sđ cung MK + sđ cung AM) 1 2

= sđ cung AK 1 2

KMA = sđ cung BK = sđ cung AK  1 2

1 2 Suy ra KMD = KMB vậy MK là đường phân giác của góc   DMN

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

4

d

Từ B kẻ Bx vuông góc AB tại B cắt đường thẳng qua N và vuông góc BM tại I Tam giác BNI = tam giác AMB (c.g.c) Suy ra AB = BI = 2R, vậy I là điểm cố định. Vậy đường thẳng qua N và vuông góc với MB tại N luôn đi qua điểm I cố định …