Tuyển chọn một số bài Toán nâng cao lớp 7

TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO LỚP 7 A.PHẦN ĐẠI SỐ:

Thầy Ngọc – THCS Thị Trấn Bài 1: So sánh: và . 20 2009 10 20092009 Gợi ý: Ta có: ; 20 10 2009 (2009.2009) 

10 10 20092009 (2009.10001) 

Bài 2: Tính tỉ số , biết: B

A

1 1 1 1 1 1 2008 2007 2006 2 1 ... ; ... 2 3 4 2007 2008 2009 1 2 3 2007 2008 A B             

Gợi ý: Nhận thấy 2008 + 1 = 207+2 = ….

2008 2007 2006 1 ( 1) ( 1).... ( 1) 1 2008 1 2 3 2008 B         

= . 2009 2009 2009 2009 2008 .... 2008 2 3 2008 2009       1 1 1 1 2009( ...... ) 2 3 4 2009    

Bài 3: Cho x, y, z, t N .  *

Chứng minh rằng: M = có giá trị không phải là số tự t z x

t t z y

z t y x

y z y x

x

           nhiên. Gợi ý: Ta có:

1 x y z t x y z t x y z x y t y z t x z t x y z t x y t z y z t x x z t y                         

2 x y z t x t y z z x t y x y z x y t y z t x z t x y z t x y t z y z t x x z t y                              Bài 4: Tìm x; y Z biết:  a) 25 – = 8(x – 2009)2; b) = + 1997; c) x + y + 9 = xy – 7. 2 y 3 x y x 3 y Gợi ý: a) Ta có 8(x – 2009)2 0, suy ra 25 – 0 

2 y  Mà VP chẵn nên VT chẵn, suy ra y lẻ. Suy ra y2 = 1; 9; 25. Chỉ có y = 5, – 5 thoả mãn. b) = + 1997 3 x y x 3 y

2 2 ( ) 199 ( )( ) 1997 xy x y xy x y x y        Vì VT là hợp số, VP = 1997 là số nguyên tố. Suy ra không có giá trị của x, y. c) Chuyển về toán ước số. Bài 5: Tìm x biết : a) ; b) . 16 3 2 ) 3 2 ( 2 ) 3 2 ( 5       x x x 4 2 6 2 2     x x x

Gợi ý: a) Xét các khoảng giá trị b) Chỉ có trường hợp: 2 2 6 2 4 x x x    

Bài 6: Chứng minh rằng : < 1 2 2 2 2 2 2 2 2 10 . 9

19 ... 4. 3

7 3. 2

5 2. 1

3    

Gợi ý:

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 2 2 3 9 10 1 10          

Bài 7: Cho n số x1, x2, ..., xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc –1.

Chứng minh rằng nếu x1.x2 + x2.x3 + ...+ xn.x1 = 0 thì n chia hết cho 4. Gợi ý: Ta có xn.xn+1 = 1 hoặc – 1, mà x1.x2 + x2.x3 + ...+ xn.x1 = 0, suy ra số hạng có giá trị 1 và – 1 bằng nhau, suy ra n chẵn, suy ra n = 2k.

Ta lại có: (x1.x2)(x2.x3) ... (xn.x1) = (x1.x2.x3 ... xn.) = 1 > 0, suy ra có chẵn thừa số – 1, nên k = 2m Do đó: n = 2k = 4m 4.  Bài 8: Chứng minh rằng:

S = < 0,2 2004 2002 4 2 4 6 4 2 2

1 2

1 ... 2

1 2

1 ... 2

1 2

1 2

1          n n

Gợi ý: Tính 2S – S Bài 9: Tính giá trị của biểu thức A = + giả sử , với n > 3. 1981 x

1981 1 x

0 1 2   x x

ThuVienDeThi.com

Gợi ý: Từ x 1 (x – 1)(x2+x+1) = 0 x3 – 1 = 0 x3 = 1 0 1 2   x x     

Do đó: A = + = + = (x C). 1981 x

1981 1 x

1980. x x

1980

1

. x x

2 1 1 1 x x x x x x       

Bài 10: Tìm max của biểu thức: A = . 1 4 3

2   x

x

Gợi ý: Ta có:

2 2 2

2 2 2 3 4 4 4 (4 4 1) (2 1) 4 4 1 1 1 x x x x x x x x             

. Suy ra

2 2 2

2 2 2 3 4 4 4 1 ( 2) 1 1 1 1 1 x x x x x x x x            

1 A 4  

Bài 11: Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng : D = 4 3 2 2 2          y x z

z x z y

y z y x

x

Gợi ý: D 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x y z y z x z x y x y z y z x z x y                    3 ( ) 3 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z y z x z x y x y z y z x z x y                                 1 1 1 ( )( ) 3 2 2 2 x y z x y z y z x z x y             Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

  1 ( ) (2 ) ( 2 ) ( 2 ) 4 x y z x y z x y z x y z           

(*) 3 1.3 (2 )( 2 )( 2 ) 4 x y z x y z x y z       

(**) 3 1 1 1 1 3 2 2 2 (2 )( 2 )( 2 ) x y z y z x z x y x y z x y z x y z               

Lấy (*) nhân (**) ta được: 1 1 1 9 ( )( ) 2 2 2 4 x y z x y z y z x z x y            Suy ra: D , dấu “=” xảy ra khi x = x = z. 9 3 3 4 4   

Bài 12: Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức:

A(x) = ( 3 – 4x + x2 )2004 .( 3 + 4x + x2 )2005 Gợi ý: Tổng hệ số: ( 3 – 4 + 1 )2004 .( 3 + 4 + 1 )2005 = 0. Bài 13: Tìm các …