Đề thi chọn học sinh năng khiếu môn Toán Lớp 7 - Năm học 2010-2011 - Phòng GD & ĐT Sơn Dương (Có đáp án)

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

PHÒNG GD&ĐT SƠN DƯƠNG đề chọn học sinh năng khiếu

NĂM HỌC 2010-2011

Môn thi : Toán 7 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1( 6đ): Tìm các số x, y, z biết.

a/ (x – 1)3 = - 8 b/ 9 7 5 3 x x   

c/ x - 3 x = 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48 Bài 2:(4 đ)

a) Thực hiện phép tính:

   

12 5 6 2 10 3 5 2

6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 A

125.7 5 .14 2 .3 8 .3

   

 

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :

2 2 3 2 3 2 n n n n      chia hết cho 10 Câu 3:(3.5đ)

a/ Tìm số dư khi chia 22011 cho 31 b/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6. Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6 Câu 4( 2.5đ). Cho 2 đa thức

P  x = x 2 + 2mx + m 2 và

Q x = x 2 + (2m+1)x + m 2

T×m m biÕt P (1) = Q (-1)

Câu 5:(4đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. Vẽ về phía ngoài tam

giác ABC các tam giác ABE và ACF vuông cân tại A. Từ E và F kẻ đường vuông góc

EK và FN với đường thẳng HA.

a/ Chứng minh rằng: EK = FN. b/ Gọi I là giao điểm của EF với đường thẳng HA. Tìm điều kiện của tam giác ABC để EF = 2AI.

-----------------------Hết-----------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

HƯỚNG DẪN CHẤM chọn học sinh năng khiếu

MÔN: TOÁN 7 ========================================

Câu Phần Nội dung cần trình bày Điểm a 1,5 (x – 1)3 = - 8 => x – 1 = - 2 => x = - 1 Vậy x = - 1 1.5

b 1,5đ

9 7 5 3 x x    Điều kiện: x  3

5

=> 9 7 5 3 9 7 3 5 x x x x        

=> 12 12 1 2 6 3 x x x x           

(Thỏa mãn điều kiện)

Vậy x = 1 hoặc x = 3. 1.5

c 1,5đ

x - 3 x = 0 Điều kiện x  0 =>   3 x x  = 0 => x = 0 hoặc x = 9 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x = 0 hoặc x = 9 1.5

1 (6đ)

d 1,5đ

12x = 15y = 20z => 5 4 3 x y z   => 48 4 5 4 3 12 12 x y z x y z       

=> x = 20; y = 16; z = 12 1.5

2 (4đ)

a 2đ

b 2đ

a)

   

   

   

 

10 12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3

6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 9 3 2 4 5

12 4 10 3

12 5 9 3 3

10 3 12 4

12 5 9 3

2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 125.7 5 .14 2 .3 8 .3

2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2

5 .7 . 6 2 .3 .2 2 .3 .4 5 .7 .9 1 10 7 6 3 2

A            

     

  

   

b) 2 2 3 2 3 2 n n n n      = 2 2 3 3 2 2 n n n n      = 2 2 3 (3 1) 2 (2 1) n n    = 1 3 10 2 5 3 10 2 10 n n n n        = 10( 3n -2n-1) Vậy 2 2 3 2 3 2 n n n n       10 với mọi n là số nguyên dương.

1

1

1 1 a, 2đ

Ta có 25 = 32 1 (mod31) => (25)402  1 (mod31) => 22011  2 (mod31). Vậy số dư khi chia 22011 cho 31 là 2. 2 3 (3.5 đ)

b 1,5đ

Vì a nguyên dương nên ta có 4a 1 (mod3) => 4a + 2 0 (mod3) Mà 4a + 2 0 (mod2) => 4a + 2  6 Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a +1 + b + 2007 – 2010  6 Vậy với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6 thì 4a + a + b chia hết cho 6

0,5 0,5

0,5

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

4

2.5đ

Cho 2 đa thức

P  x = x 2 + 2mx + m 2 và

Q x = x 2 + (2m+1)x + m 2

T×m m biÕt P (1) = Q (-1)

P(1) = 12 + 2m.1 + m2

= m2 + 2m + 1

Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2

= m2 – 2m

§Ó P(1) = Q(-1) th× m2 + 2m + 1 = m2 – 2m  4m = -1  m = -

1/4

1

1

0.5

0.5đ Vẽ hình và GT-KL đúng, đẹp 0,5

a 2.5

Chứng minh KAE = HBA ( ch – gn) => EK = AH Chứng minh NFA = HAC ( ch – gn) => FN = AH Suy ra EK = FN

1 1 0.5

5 (4đ)

b 1đ

Chứng minh KEI = NFI ( c.g.c) => EI = FI = EF

2

Mà AI = EF

2 (gt) => AI = EI = FI => IEA = IAE và IAF = IFA

=> EAF = 900 => BAC = 900 Vậy EF = 2AI khi tam giác ABC vuông tại A

0,5

0,5

Ghi chú: Đáp án trên chỉ là một trong những cách làm đúng, nếu học sinh làm đúng bằng cách khác cho điểm tối đa

Giáo viên ra đề

Lê Minh Quảng

K

I

H

N F

E

C B

A

ThuVienDeThi.com