Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD & ĐT Thành phố Thái Bình

Bài 1 (4,0 điểm)

1. Cho tổng 2 4 6 8 2014 1 1 1 1 1 S = + + + +...+ 5 5 5 5 5 . Chứng minh 1 S < 24 .

2. Có hay không số nguyên x thỏa mãn đẳng thức sau :

3x5 - x3 + 6x2 - 18x = 213

Bài 2 (4,0 điểm)

1. Tìm ba số thực dương a, b, c biết :

ab -1 bc -3 ca -5 = = 3 9 -6 và ab + bc + ca =11

2. Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d R)

Biết 13a - 6b + 4c = 0. Chứng minh P( 1

2 ).P(-2)  0.

Bài 3 (4,0 điểm)

Cho hàm số y = x - |2x|

1. Vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Tùy theo giá trị của số thực m, hãy cho biết số điểm chung của (C) và đường thẳng y = m ?

Bài 4 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC (AB < AC), M là trung điểm của BC. Đường trung trực của BC cắt tia

phân giác của góc BAC tại điểm P. Gọi H và K thứ tự là hình chiếu của P trên đường

thẳng AB và đường thẳng AC.

1. Chứng minh PB = PC và BH = CK.

2. Chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng.

3. Gọi O là giao điểm của PA và HK. Chứng minh OA2 + OP2 + OH2 + OK2 = PA2

Bài 5 (2,0 điểm)

Cho tam giác đều ABC, điểm D nằm giữa A và B. Đường thẳng vẽ từ D vuông góc với

AC cắt đường thẳng vẽ từ B vuông góc với BC tại điểm M. Gọi N là trung điểm của AD.

Tính số đo góc MCN ?

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THÁI BÌNH

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC : 2013 - 2014 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút

ThuVienDeThi.com

Bài 1 (4,0 điểm)

1. Có 2 4 6 8 2014 1 1 1 1 1 S = + + + +...+ 5 5 5 5 5

=> 25S = 2 4 6 2012 1 1 1 1 1+ + + +...+ 5 5 5 5 0.75

=> 25S - S = ) 2 4 6 2012 1 1 1 1 (1+ + + +...+ 5 5 5 5 - ) 2 4 6 8 2014 1 1 1 1 1 ( + + + +...+ 5 5 5 5 5

=> 24S = 2014

1 1- 5 0.75

Vì 2014

1 1- 5 < 1 => 24S < 1 => 1 S < 24 0.5

2. Vì 213  3 => 3x5 - x3 + 6x2 - 18x  3 0.5 => x3  3 (vì 3x5  3, 6x2  3, 18x  3 với xZ) 0.25 => x  3 (vì 3 là số nguyên tố) 0.5 => x3  9, 3x5  9, 6x2  9, 18x  9 0.25 => 3x5 - x3 + 6x2 - 18x  9. 0.25

Mà 213  9 => Không tồn tại số nguyên x thỏa mãn đẳng thức đã cho. 0.25

Bài 2 (4,0 điểm)

1. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

 ab -1 bc -3 ca -5 ab -1+ bc -3+ ca -5 11-9 1 = = = = 3 9 -6 3+9- 6 6 3 0.5

=> ab = 2 ; bc = 6 ; ca = 3 0.25 => ab = 4 ; bc = 36 ; ca = 9 0.25 => (abc)2 = (2.6.3)2 0.25 => abc = 36 (vì a, b, c dương) 0.25

=> abc 36 a = = =1 bc 36 ; abc 36 b = = = 4 ac 9 ; abc 36 c = = = 9 ab 4 0.25 Vậy a = 1, b = 4, c = 9 thỏa mãn đề bài 0.25

2. Có 1 1 1 1 P( ) = a+ b+ c +d 2 8 4 2 => 1 8P( ) = a+2b+ 4c +8d 2 0.5 P(-2) = -8a + 4b - 2c + d => 8P(-2) = -64a + 32b - 16c + 8d 0.5

Xét hiệu 1 8P( )-8P(-2) 2 = (a + 2b + 4c + 8d) - (-64a + 32b - 16c + 8d) 0.25 = 65a - 30b + 20c = 5.(13a - 6b + 4c) = 0 (vì 13a - 6b + 4c = 0) 0.25

=> 1 1 8P( ) = 8P(-2) =>P( ) =P(-2) 2 2 0.25

 

2  1 => P( ).P(-2) = P(-2) 0 2 0.25

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THÁI BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG LỚP 7 NĂM HỌC : 2013 - 2014 MÔN : TOÁN

ThuVienDeThi.com

Bài 3 (4,0 điểm)

1. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối được   

-x y = 3x 0.75

Chọn điểm: - Với y = -x (x0) : cho x = 1 => y = -1 => Điểm A(1 ; -1) thuộc đồ thị hàm số y = -x (x0). 0.5 - Với y = 3x (x < 0) : cho x = -1 => y = -3 => Điểm B(-1 ; -3) thuộc đồ thị hàm số y = 3x (x < 0). 0.5 Vẽ đồ thị:

1.0

Kết luận : Đồ thị (C) của hàm số đã cho gồm hai tia OA, OB như hình vẽ. 0.25 2. Vì y = m (mR) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng m. 0.25 Do đó : - Nếu m < 0 thì (C) và y = m có 2 điểm chung phân biệt. 0.25 - Nếu m = 0 thì (C) và y = m có 1 điểm chung là O(0 ; 0). 0.25 - Nếu m > 0 thì (C) và y = m không có điểm chung. 0.25

Bài 4 (6,0 điểm)

A

B

C M

P

H

K

E

O

1 2

1. - Chứng minh ΔPMB = ΔPMC (c.g.c) => PB = PC (hai cạnh tương ứng)

- Chứng minh ΔPHA = ΔPKA (cạnh huyền - góc nhọn) => PH = PK (hai cạnh tương ứng)

- Chứng minh ΔPBH = ΔPCK (cạnh huyền - cạnh g.v) => BH = CK (hai cạnh tương ứng)

1.0

0.75

0.75

2. Kẻ BE // AC (EHK) => · · BEH = AKH (hai góc đồng vị) (1) 0.25 Mà ΔPHA = ΔPKA (chứng minh trên) => AH = AK (hai cạnh tương ứng) => ΔAHK cân tại A => · · AHK = AKH (tính chất tam giác …