Đề thi khảo sát học sinh giỏi môn Toán Khối 7 (Có đáp án)

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

PHÒNG GD&ĐT Đề thi khảo sát hsg lớp 7

Môn : Toán Thời gian: 120phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày:…./…

Bài 1: (1,5 điểm)

a/ (0,5 điểm) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì:

3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n chia hết cho 10

b/ (1 điểm) Cho: A = 2008

1 2007

1 ..... 4 1 3 1 2 1     

B = 2007

1 2006

2 ... 3 2005 2 2006 1 2007     

Tính: A

B

Bài 2: (1,5 điểm)

a/ (0,75 điểm) Tìm x và y, biết rằng: 3 2008 2007 2006 2005         x y x x

b/ (0,75 điểm) Tìm a Z sao cho M = 1

3 2



 a a nhận giá trị nguyên

Bài 3: (2 điểm)

a/ (1 điểm) Cho f(x) = x8 – 101x7 + 101x6 – 101x5 +...+ 101x2 – 101x + 25. Tính f (100)

b/ (1 điểm) Cho hai đa thức

f(x) = (x – 2)2008 + (2x – 3)2007 + 2006x và g(y) = y2009 – 2007y2008 + 2005y2007

Giả sử f(1) là s. Hãy tính giá trị của g(s)

Bài 4: (2 điểm)

Tìm một số có ba chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ lệ

với 1: 2: 3.

Bài 5: (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông cân với đáy BC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của

AB và AC. Kẻ NH CM tại H. Kẻ HE  AB tại E. Chứng minh rằng:

a/ Tam giác ABH cân

b/ HM là phân giác của góc BHE

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN LỚP 7

Năm học 2008 - 2009 Bài 1: (1,5 đ) a/ (0,5 đ) 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = (3n+2 + 3n) – (2n+2 + 2n) = 3n(32 + 1) – 2n(22 + 1)

= 3n . 10 – 2n. 5 (0,25 đ) 3n.10  10 ; 2n. 5  10 => 3n .10 – 2n. 5  10 Vậy 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n  10 (0,25 đ) b/ (1 đ)

Tách 2007 bằng tổng của 2007 số 1 và biến đổi như sau:

B =

1 2007

1 1 2006

2 1

...... 3 2005 1 2 2006 1 2007

1 2006

2 ... 3 2005 2 2006 1 2007

              

                   

(0,25 đ)

= 2008 2008 2007 2008 2006 2008 .... 3 2008 2 2008      (0,25 đ)

= A . 2008 2008

1 2007

1 2006

1 .... 3 1 2 1 2008             (0,25 đ)

=> 2008  A B (0,25 đ)

Bài 2: (1,5 đ) a/ (0,75 đ)

Ta có A A A    với A tùy ý

3 2008 2005 2008 2005 2008 2005             x x x x x x (1) (0,25 đ) Từ đó và theo giả thiết đề bài ta có: 0 2007 2006     y x (2) (0,25 đ) Từ (1) và (2) => 3 2008 2007 2006 2005         x y x x khi 0 2006   x và 0 2007   y (0,25đ) Vậy x = 2006 và y = 2007 b/ (0,75 đ)

1

4 1 )1 ( 1

4 1 1

3 2 2



     

     



a

a a a a

a a a a a (0,25 đ)

Z a Z a a         1 4 1 4 1 (0,25 đ)

<=> a – 1 là ước của 4 a – 1 = {-4; -2; -1; 1; 2; 4} (0,25 đ) a = {-3; -1; 0; 2; 3; 5} Bài 3: 2 điểm a/ (1 đ) f(x) = x8 – 101x7 + 101x6 – 101x5 +...+ 101x2 – 101x + 25 = x8 – 100 x7 – x7 + 100x6 +x6 – 100x5 – x5 +...+ 100x2

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

+ x2 – 100x – x +25 (0,25 đ) f(x) = x7(x - 100) – x6(x - 100) + x5(x – 100) - ...+ x(x-100) – (x - 25) (0,25 đ) f(100) = 1007.(100 -100) – 1006(100 -100) + ...+ 100.(100-100) – (100-25) (0,25 đ) f(100) = -75 (0,25 đ) b/ (1 đ) Tổng các hệ số của f(x) sau khi khai triển và thu gọn chính là giá trị của đa thức f(x) tại x = 1. Ta có

s = f(1) = (1 – 2)2008 + (2.1 – 3)2007 + 2006.1 (0,25 đ) = (-1)2008 + (-1)2007 + 2006 = 1 – 1 + 2006 = 2006 (0,25 đ) Thay s + 1 = 2007; s – 1 = 2005 ta được

g(s) = s2009 – (s+1).s2008 + (s -1).s2007 (0,25 đ) = s2009 – s2009 – s2008 + s2008 - s2007 = - s2007 = -20062007 (0,25 đ) Vậy s = 2006 và g(s) = -20062007 Bài 4: (2 điểm) Gọi các số cần tìm là a; b; c (a; b; c N* và 9 ; ; 1   c b a ) (0,25 đ) Vì số cần tìm chia hết cho 18 => số đó chia hết 9 và 2

=> (a + b + c)  9 và số cần tìm là số chẵn (0,25 đ) Vì 9 ; ; 1   c b a => 27 3     c b a (0,25 đ) Từ 3 đến 27 có các số 9; 18; 27  9 Vậy a + b +c = {9; 18; 27} (1) (0,25 đ)

Theo bài ra ta có: 6 3 2 1 3 2 1

c b a c b a c b a     

     (0,25 đ)

Vì a; b; c  N* => a + b + c  6 (2) Từ (1) và (2) => a + b +c = 18 (0,25 đ)

3 6 18 3 2 1     c b a

a = 3; b = 6; c =9 (0,25 đ) Số cần tìm chia hết cho 2 nên chữ số hàng đơn vị là số chẵn. Vậy số cần tìm là: 396 và 936 (0,25 đ)

Bài 5: …