Đề thi olympic môn Toán Lớp 7 - Năm học 2013-2014 - Trường THCS Nguyễn Trực (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRỰC - TT KIM BÀI

Họ và tên: .............................................................. Lớp: ...........................................................................

ĐỀ THI OLYMPIC

Năm học 2013 - 2014

Môn: TOÁN 7 Thời gian: .......... phút

Câu 1 : (........................ điểm)

(1) Cho tỉ lệ thức d

c b a 

Cmr : ta có tỉ lệ thức sau (giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa)

a) cd

d c ab

b a 2 2 2 2    b) 2 2

2

2 2

2 ) ( ) (

d c

d c b a

b a

    

(2) Cho a, b, c đôi một khác nhau và 0 . Biết ab là số nguyên tố và c b bc ab  .

Tìm abc

Câu 2 : (........................ điểm) 1) Tìm x, y biết : a) 2 5 6 0 x x    b) 2 2 6 1 0 x y   (x, y là số nguyên tố) 2) Chứng minh rằng đa thức f(x) = 1 2 5 8     x x x x không có nghiệm. Câu 3 : (........................ điểm)

Tìm xz để x

x A   11

2 32 đạt GTLN. Tìm GTLN của A.

Câu 4 : (........................ điểm) Cho  ABC nhọn, AD vuông góc với BC tại D. Xác định I ; J sao cho AB là trung trực của DI, AC là trung trực của DJ ; IJ cắt AB ; AC lần lượt ở L và K. Chứng minh rằng :

a) AIJ cân b) DA là tia phân giác của góc LDK c) BK  AC ; CL  AB d) Trực tâm của ABC chính là giao của 3 đường phân giác của DLK e) Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh BC. Chứng minh rằng góc IAJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ nhất.

- HẾT -

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI OLYMPIC TOÁN 7

Câu 1 : (5 điểm) 1) (2 điểm) a) Chứng minh đúng (1đ) b) Chứng minh đúng (1đ) 2) (3 điểm)

- Từ gt hoán vị các trung tỉ và áp dụng tính chất dày tỉ số bằng nhau có c b b a 

nên b2 = ac.

- Đo ab là 1 số nguyên tố có hai chữ số nên b   9;7;3;1 - Đo ac = b2 ta xét các trường hợp : b = 1 => a = c = 1 (loại do a  c) b = 3 => a.c = 9 = 1.9 (do a c) => (do 93 không là số nguyên tố)

có c b bc ab     9 3 3 1 39 13 (chọn)

b = 7 và b = 9 điều bị loại do dẫn đến a = c Vậy 139  abc Câu 2 : (6 điểm) (1) (4 điểm) a) x = 2 hoặc x = 3 (2 điểm) b) x = 5 ; y = 2 (2 điểm) (2) Xét từng khoảng (2 điểm) + Xét x  0 lập luận R dẫn đến f(x)  1 > 0 + Xét 0 < x < 1 lập luận dẫn đến f(x) > 0 + Xét x  1 lập luận dẫn đến f (x) > 0 Trong cả ba khoảng trên đều có f(x) 0 nên đa thức f(x) không có nghiệm. Câu 3 : (2 điểm)

Biến đổi A = 2 + x  11

10 . Để max 11

10

max x B A   

Xét 11 - x < 0 => B < 0 Xét 11 - x > 0 => B > 0 => Bmax <=> B > 0 Lập luận để có 11 - x là số nguyên dương nhỏ nhất. => x = 10 => GTLN của A bằng 12 khi và chỉ khi x = 10 Câu 4 : (7 điểm)

K L

13  ab

A

J

C D B

I

ThuVienDeThi.com

a) Do AB ; AC là trung trực của AB. (1đ) => AI = AD AD = AJ => AI = AJ => AIJ  cân tại A. b) ALI = ALD (c.c.c) => 1 1 D I   TT : AKD = AKJ (c.c.c) => 2 2 J D   Mà AIJ cân (câu a) => 1 1 J I   (1,5đ) => 2 1 D D   => DA là tia p/g của K D L 

c) CMTT câu b : CL ; BK là p/g trong của D K L ˆ ; K L D trong DKL => BK  AC (1,5 đ) CL  AB d) Từ câu c => trực tâm của ABC chính là giao của 3 đường phân giác trong DLK (1 đ) e) . * CM được C A B J A I ˆ 2 ˆ  (không đổi) (1 đ) * AIJ cân tại A có J A I ˆ không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nhất nếu cạnh bên AI nhỏ nhất.

Ta có AI = AD AH (AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC) Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi D H (1đ) Vậy khi D là chân dường vuông góc hạ từ A xuống BC thì IJ nhỏ nhất.

----Hết----

A

J I

B H D C

ThuVienDeThi.com