Bộ đề thi olympic môn Toán Lớp 7

1

Trường THCS Mỹ Hưng ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7 Huyện Thanh Oai – HN Năm học 2013 – 2014 Môn thi: Toán Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 ( 5 điểm ):

1. Cho a c c b  . với , , 0 a b c . Chứng minh rằng:

a)

2 2

2 2 a a c b b c    b)

2 2

2 2 b a b a a a c    

2. Tổng ba phân số tối giản bằng 25 5 63 các tử của chúng tỉ lệ nghịch với

20; 4; 5. Các mẫu của chúng tỉ lệ thuận với 1; 3; 7. Tìm ba phân số đó.

Câu 2 ( 3 điểm ): Tìm số nguyên x, y biết: 5 1 4 8 y x  

Câu 3 ( 3 điểm ): Tìm số nguyên x để A có giá trị là một số nguyên biết

1 3 x A

x

 

   0 x 

Câu 4 ( 2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau 2013 2014 2015 A x x x       Câu 5 ( 7 điểm ): Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trung tuyến AM. E là điểm thuộc cạnh BC. Kẻ BH, CK vuông góc với AE ( H, K thuộc AE ).

a) Chứng minh BH AK  . b) Cho biết MHK là tam giác gì? Tại sao?

ThuVienDeThi.com

2

Trường THCS Mỹ Hưng HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC Huyện Thanh Oai – HN Năm học 2013 – 2014 Môn thi: Toán Lớp 7 Câu Nội dung Điểm Câu 1 (6 điểm)

1. a, Từ: a c c b  

2 2 . a c a c c b c b              



2 2 2 2

2 2 2 2 a a c a c b c b c b      

2 2

2 2 a a c b b c    (đpcm)

b, Áp dụng chứng minh phần a ta có:

a c c b  

2 2

2 2 a a c b b c    

2 2 2 2

2 2 2 2 1 1 b b c b b c a a c a a c        

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 b a b c a c b a b c a c a a a c a c a a c               

2 2

2 2 b a b a a a c      (đpcm)

2. Gọi ba phân số cần tìm là a, b, c.

Theo bài ra ta có: 25 5 63 a b c   

1 1 1

1 1 1 20 5 4 : : 21:35:12 1 3 7 20 12 35 a b c       

25 5 5 63 21 35 12 21 35 12 68 63 a b c a b c           5 5 21.63 3 a    ; 5 25 35.63 9 b    ; 5 20 12.63 21 c   

Vậy: Ba phân số cần tìm là 5

3 ; 25

9 và 20

21 .

0,5 đ

0,5 đ

1,0 đ

1,0 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

Câu 2 (3 điểm)

Từ: 5 1 4 8 y x     5 1 5 1 2 1 2 40 8 4 8 y y x y x x

        

 1 2y   ước lẻ của 40 là: 1; 5  Lập bảng:

1-2y -5 -1 1 5 x -8 -40 40 8 y 3 1 0 -2 Vậy ta có các cặp số (x; y) là: (-8; 3); (-40; 1); (40; 0); (8; - 2)

1,0 đ 0,5 đ

1,0 đ

0,5 đ

ThuVienDeThi.com

3

Câu 3 (3 điểm)

Ta có: 1 4 1 3 3 x A

x x     

4 3 3 A Z Z x x       Ư(4)   1; 2; 4  

Lập bảng:

3 x  -4 -2 -1 1 2 4 x / 1 4 16 25 49 Vậy:   1;4;16;25;49 x

0,5 đ

1,0 đ

1,0 đ

0,5 đ

Câu 4 (2 điểm)

2013 2014 2015 A x x x         2013 2015 2014 A x x x      

Vì: 2015 2015 x x      2013 2015 2014 A x x x       

Mà: 2013 2015 2013 2015 2 x x x x        

  2013 2015 2014 2 2014

2 2014 0

A x x x x

A x

               

Dấu bằng sảy ra    2013 2015 0

2014 0

x x

x

      

2013 2015 2014

x x

     2014 x   Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi 2014 x 

1,0 đ

1,0 đ

Câu 5 (7 điểm)

A

H

E a) Xét ABH  và CAK  có: B M C · · 0 90 AHB CKA   K AB AC  ( ABC  cân tại A) · · ABH CAE  ( Cùng phụ với ·BAH ) ABH CAK   ( Cạnh huyền và góc nhọn) BH AK   ( Hai cạnh tương ứng ) (đpcm) b) Ta có MA MB MC   ( Trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ABC  )

0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ 1,0 đ

0,5 đ

0,5 đ

ThuVienDeThi.com