Đề thi Olympic môn Toán Lớp 7 - Năm học 2014-2015

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2014 – 2015

MÔN: TOÁN – LỚP 7. Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. Tìm x , biết:

a) 5 3 2    x

b) 2105 2104 1 1 2013 2 x x x     

Câu 2.

a) Tìm a; b;c biết: 5 3 3 2 c b a   và abc = 540.

b) Cho đa thức: P(x) = x8 – 2016x7 + 2016x6 – 2016x5 + …+2016x2 – 2016x + 4030. Tính P(2015.)

Câu 3. Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quảng đường thì ô tô tăng vận tốc lên 20 0 0 do đó đến B sớm hơn 10 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.

Câu 4. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ tam giác BDA vuông cân tại A, tam giác CAE vuông cân tại A. Chứng minh:

a) DC = BE; DC BE. b) BD2 + CE2 = BC2 + DE2 c) Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC. Câu 5. Cho 30 số tự nhiên, trong đó nếu có bốn số khác nhau thì chúng phải lập được thành một tỉ lệ thức. Chứng ming rằng trong 30 số đó có nhiều nhất 4 số khác nhau.

-------------------Hết------------------ Đ/á tham khảo: Câu 1. Tìm x , biết:

a) 5 3 2    x

 2 2   x

TH1: x – 2 = - 2 x = 0. TH2: x – 2 = 2 x = 4.

b) 2105 2104 1 1 2013 2 x x x     

 1 2105 1 2104 1 1 2013 2        x x x

 2105

2015 2104

2014 1 2013

2013 2        x x x

ThuVienDeThi.com

 2105

2015 2104 2015 2013 2015      x x x

 0 2105 2015 2104 2015 2013 2015       x x x

 0 ) 2105

1 2104

1 2013

1 )( 2015 (    x

x = 2015 ; vì 0 2105

1 2104

1 2013

1   

Câu 2.

a) Tìm a; b; c biết: 5 3 3 2 c b a   và abc = 540.

Ta có:    

3 3 3

5 3 3 2 c b a   = . 216 15

540 .6 5.3

3. 2.   c b a

Suy ra: 6 216 3    a a

  .9 729 216 3 2 3 3      b b b

  10 1000 216 5 3 3 3      c c c

b) Cho đa thức: P(x) = x8 – 2016x7 + 2016x6 – 2016x5 + …+2016x2 – 2016x + 4030. Tính P(2015.) Giải: P(x) = x8 – 2016x7 + 2016x6 – 2016x5 + …+2016x2 – 2016x + 4030 =x8 – (2015+1)x7 + (2015+1)x6 – (2015+1)x5 + …+ (2015+1)x2 – (2015+1)x + 4030 Thay x = 2015, ta được: P = x8 – (x+1)x7 + (x+1)x6 – (x+1)x5 + …+ (x+1)x2 – (x+1)x + 4030 = x8 – x8 - x7 + x7 + x6 – x6 - x5 + …+ x3 + x2 – x2 - x + 4030 = 4023 Câu 3. Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quảng đường thì ô tô tăng vận tốc lên 20 0 0 do đó đến B sớm hơn 10 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B. Giải: Gọi t1 (giờ) là thời gian ô tô đi hết nửa quảng đường đầu AB, t1> 0. t2 (giờ) là thời gian ô tô đi hết nửa quảng đường sau AB v1 (km/h) là vận tốc ô tô đi hết nửa quảng đường đầu AB v2 (km/h) là vận tốc ô tô đi hết nửa quảng đường đầu AB.

Theo bài ra, ta có: t1 = t2 + 6

1 ; 5 6 5 1 1 1 1 2

v v v v   

Mà trên cùng một quảng đường, thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ

nghịch, nên ta có :  

1

2

2

1

v v t

t  5

6

2

1 t

t .1 6

6 1 5 6

6

1 1

2 1

1        t t t t

t

Suy ra t2 = 6

5 . Vậy thời gian ô tô đi từ A đến B là    6 1 6 5 1 2 giờ.

Câu 4. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ tam giác BDA vuông cân tại A, tam giác CAE vuông cân tại A. Chứng minh:

ThuVienDeThi.com