Các bài toán Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa giá trị tuyệt đối Đại số lớp 7

1

CÁC BÀI TOÁN “TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA BIỂU THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI”

TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 7

1) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số: Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp (D). *M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên tập hợp (D) nếu hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn: a- f(x)  M với mọi x (D) b- x0 (D) sao cho f(x0) = M Ký hiệu M = max f(x) x  (D) *m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập hợp (D) nếu hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn: a- f(x)  m với mọi x (D) b- x0 (D) sao cho f(x0) = m Ký hiệu m = min f(x) x  (D) 2) Các kiến thức thường dùng: a/x2  0 một cách tổng quát với mọi x, k  Z

Suy ra ; b/ ; c/ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y cùng dấu d/ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y cùng dấu e/

f/ (y  0)

3) Phương pháp giải: Một trong các phương pháp được sử dụng đối với dạng toán này là phương pháp bất đẳng thức. Cụ thể: Cho hàm số f(x) có tập xác định (D). Ta cần chứng minh: a/f(x)  M hoặc f(x)  m b/Chỉ ra trường hợp x = x0  (D) sao cho BĐT trở thành đẳng thức. 4) Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a/ A = b/ B =

Giải: a/ Vì dấu ‘=” xảy ra  x = 1 suy ra:  0 Vậy minA = 0  x = 1

b/ B =  1 Suy ra min B = 1  x = 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a/ A = -2 - b/ B =

Giải: a/ Vì dấu “=” xảy ra  x = 1 Suy ra A = -2 -  -2

Vậy max A = -2  x = 1.

0 ) (

2 

k x f

m m x f

k   2 ) ( M x f M

k  

2 ) (

0  x x x x   

y x y x   

y x y x   

y x xy 

y

x

y x 

1 3  x 1 2 4   x

0 1   x 1 3  x

1 2 4   x

1  x 3 2   x

0 1   x 1  x

ThuVienDeThi.com

2

b/ B =  3 suy ra max B = 3  x = 2 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của: a/ A = b/ B =

Giải: a/ Áp dụng bất đẳng thức: Dấu “=” xảy ra  x, y cùng dấu

A =   x(8 – x)  0 Lập bảng xét dấu:

Vậy: min A = 8  0  x  8 b/ B = = 

Dấu “=” xảy ra  (x – 3)(5 – x)  0  3  x  5 (lập bảng xét dấu như câu a) Vậy: min B = 2  3  x  5 Chú ý: Ta sử dụng hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau để làm triệt tiêu x. Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a/ M = b/ N = Giải: a/ Đặt M1 = và M2 = thì M = M1 + M2 khi đó M có giá trị nhỏ nhất khi M1; M2 đồng thời có giá trị nhỏ nhất. Tương tự các ví dụ trên ta có min M1 = 5 – 2 = 3  2  x  5 và min M2 = 4 – 3 = 1  3  x  4 Vậy: min M = 3 + 1 = 4  3  x  4 b/ có GTNN bằng 1996 – 1 = 1995  1  x  1996

có GTNN bằng 1995 – 2 = 1993  2  x  1995

có GTNN bằng 1994 – 3 = 1991  3  x  1994 ............................................................................... có GTNN bằng 998 – 997 = 1  997  x  998

Suy ra: min N = 1+3+5+7+...+1995 = 9982  997  x  998 Chú ý: 1+3+5+7+...+(2n – 1) = n2 Vậy: min N = 9982  997  x  998 Ví dụ 5: a/Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = b/Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = c/Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = Giải: a/ Áp dụng bất đẳng thức Ta có: A =

=  x + 5 + x + 2 + 7 – x + 8 – x = 22

x 0 8 x - 0 + + 8 – x + + 0 - x(8 – x) - 0 + 0 -

3 2   x

x x  8 5 3    x x

y x y x   

x x  8 8 8    x x

5 3    x x x x    5 3 2 5 3     x x

x x    5 5

5 4 3 2        x x x x

1996 ... 3 2 1         x x x x

5 2    x x 4 3    x x

1996 1    x x

1995 2    x x

1994 3    x x

998 997    x x

8 7 2 5        x x x x

5 2 3      x x x

2 5    x x

M M 

8 7 2 5        x x x x

x x x x        8 7 2 5

ThuVienDeThi.com