Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2016 - 2017 môn Toán 7

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017

MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,5đ) a. Thực hiện phép tính sau:

   

12 5 6 2 10 3 5 2

6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49

125.7 5 .14 2 .3 8 .3

  

 

b. Tính giá trị của biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 và xy = 16 c/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, xác định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = 0 và a là số lớn hơn c ba đơn vị Bài 2: (2,0đ) Tìm các số x, y, z biết.

a/ (x – 1)3 = - 8 b/ 9 7 5 3 x x   

c/ x - 3 = 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z x = 48 Bài 3: (1,0đ)

a/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6.

Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6. b/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74 Bài 4: (2,0đ)

a/ Cho . Chứng minh rằng: a c b d 

2 2

2 2 a ac b bd c ac d bd     

b/ Cho a, b, c > 0 và dãy tỉ số: 2b c a 2c b a 2a b c a b c     

TÝnh: P =        

3a 2b 3b 2c 3c 2a

3a c 3b a 3c b

  

  

c/ Cho x, y, z, t  N. Chứng minh rằng:

M = có giá trị không phải là x y z t x y z x y t y z t z t x           số tự nhiên. Bài 5: (3,0 đ) Cho ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài ABC vẽ BAD vuông cân tại A, CAE vuông cân tại A. Chứng minh:

a/ DC = BE; DC  BE b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2 c/ Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC.

ThuVienDeThi.com

Bài 6: (0,5đ) Cho ABC nhọn với = 600. Chứng minh rằng: ABAC BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC

ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1/ 1,0đ

12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 10 4

2 6 4 5 3 9 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 (2 .3) 8 .3 (125.7) 5 .14 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7           

12 4 10 3 12 4 10 3

12 5 9 3 3 12 5 9 3 2 .3 .(3 1) 5 .7 .(1 7) 2 .3 .2 5 .7 .( 6) 1 10 7 2 .3 .(3 1) 5 .7 .(1 2 ) 2 .3 .4 5 .7 .9 6 3 2             

0,25 đ

0,25 đ M = (2x – 1)(2y – 1) = 4xy – 2x – 2y + 1 = 4xy – 2(x + y) + 1 M = 45

0,25 đ 0,25 đ c/ 1,0đ

Ta có f(-2) = 0  4a – 2b + c = 0 f(2) = 0  4a + 2b + c = 0 và a – c = 3 4b = 0  b = 0 Từ 8a + 2c = 0 và a – c = 3  a = 3/5 ; c = -12/5

0,25 đ

0,25 đ 2a/ 0,5đ

(x – 1)3 = -8  x – 1 = -2  x = -1. Vậy x = -1

0,25 đ 0,25 đ 2b/ 0,5đ . ĐK  9 7 5 3 x x    3 5 x  9 7 5 3 9 7 3 5 x x x x        

(TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3 12 12 1

2 6 3

x x

x x

           

0,25 đ

0,25 đ 2c/ 0,5đ x - 3 = 0. ĐK x ≥ 0  (TMĐK) x 0 ( 3) 0 9

x x x x

      0,5đ

ThuVienDeThi.com

2d/ 0,5đ

12x = 15y = 20z  48 4 20; 16; 12 5 4 3 12 12 x y z x y z x y z           

0,5đ

3a/ 0,75 đ

Vì a  Z+  4a  1 (mod 3)  4a + 2  0 (mod 3) Mà 4a + 2  0 (mod 2)  4a + 2 6  Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010 6  Vậy với a, b  Z+ sao cho a + 1 và b + 2007 6 thì 4a + a + b  6 

0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ 3b/ 0,75 đ

Từ 6x2 + 5y2 = 74  6x2 ≤ 74  x2 ≤ 74/6 mà x  Z  x{0; 1; 4; 9} Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2 5  x2 = 4 hoặc x2 =  9 Nếu x2 = 4  y2 = 10 (loại vì y  Z) Nếu x2 = 9  y2 = 4  (x, y)  {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; - 2)}

0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ

4a/ 1,0đ  a c a c c a b d b d d b        . . a c a c a c b d b d b d     

  đpcm

2 2

2 2 ( ). ( ). ( ). ( ). a c a c a c a ac c ac b d b d b d b bd d bd           

0,25 đ

0,25 đ Ta cã 2b c a 2c b a 2a b c 2a 2b 2c b 3c a 3b c 3a a b c a b c a b a c b c                   

  … P = b + 3c = 2a + 2b 2a bc b a + 3b = 2a + 2c 2c 3b a c + 3a = 2b + 2c 2b 3a c

                

1 8

0,25 đ

0,25 đ 4b/ 1,0đ Ta có ; x x x y y y x y z t x y z x y x y z t x y t x y                

; z z z t t t x y z t y z t z t x y z t x z t z t                

 x y z t x y z t M x y z t x y x y z t z t                            Hay 1 < M < 2. Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên

0,25 đ

0,25 đ

ThuVienDeThi.com