Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2015-2016 môn Toán 7

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

TIỀN HẢI

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016

MÔN: TOÁN 7 (Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (4,0 điểm)

Cho A = 3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016. a) Tính A. b) Tìm chữ số tận cùng của A. c) A có là số chính phương không? Vì sao?

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Tìm x, biết: x 1 2 3 

b) Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 và 1 170 các mẫu tương ứng của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2.

Bài 3 (3,0 điểm)

Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 có đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a). a) Tìm a. b) Với a vừa tìm được, tính giá trị của x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x).

Bài 4 (7,0 điểm)

Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABM, ACN vuông cân tại A. BN và MC cắt nhau tại D.

a) Chứng minh: AMC = ABN. b) Chứng minh: BN  CM. c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm. Tính MN. d) Chứng minh rằng DA là phân giác của góc MDN.

Bài 5 (2,0 điểm)

Tìm các số tự nhiên a, b sao cho:         a 2016a 13b 1 2016 2016a b 2015

Họ và tên thí sinh: .......................................................................................................

Số báo danh: .................................................Phòng.....................................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

TIỀN HẢI

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016

ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM

m¤N: TOÁN 7 (Đáp án và biểu điểm chấm gồm 04 trang)

Bài 1 (4,0 điểm)

Cho A = 3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016. a) Tính A. b) Tìm chữ số tận cùng của A. c) A có là số chính phương không? Vì sao?

Câu Nội dung Điểm Ta có: A = 3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016 3A = 32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017 0,5

Suy ra: 3A - A = (32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017 )- (3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016) 0,5 a/ (1,5 đ)

A = .

2017 3 3 2

 0,5

Ta có: A = (3 + 32 + 33 + 34) + … +(32013 + 32014 + 32015 + 32016) = 3(1 + 3 + 32 + 33) + ... + 32013(1 + 3 + 32 + 33) 0,75

= 3.40 + ... + 32013.40 = 40.(3 + 35 + ... + 32013) 0,5 b/ (1,5 đ)

Suy ra A có chữ số tận cùng là 0 0,25 Lập luận được A chia hết cho 3 0,25 Lập luận được A không chia hết cho 32 0,25 c/ (1,0 đ) Mà 3 là số nguyên tố nên suy ra A không là số chính phương 0,5

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Tìm x, biết: x 1 2 3 

b) Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 và 1 170 các mẫu tương ứng của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2.

Câu Nội dung Điểm Lập luận được > 0. 1 2 x  0,5

Nên  = 3  x 1 2 3  x 1 2  x 1 1  0,75 a/ (2,0 đ)

 x -1 = 1 hoặc x – 1 = -1  x = 2 hoặc x = 0. 0,5 Vậy x = 2 ; x = 0 0,25

b/ (2,0 đ)

Gọi 3 phân số cần tìm lần lượt là thì ta có a b c ; ; x y z

và a b c 1 1 x y z 70    a b c x y z ; 3 4 5 5 1 2    

0,5

ThuVienDeThi.com

  a x b y c z : : : 3 5 4 1 5 2  

b a c y x z 3 4 5 5 1 2

  0,75

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

= = 

b a c y x z 3 4 5 5 1 2

 

a b c 1 1 x y z 70 3 4 5 71 5 1 2 10

 

  

1 7

a 3 b 4 c 5 ; ; x 35 y 7 z 14    0,5

Vậy 3 phân số cần tìm là . 3 4 5 ; ; 35 7 14 0,25

Bài 3 (3,0 điểm)

Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 có đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a). a) Tìm a. b) Với a vừa tìm được, tính giá trị của x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x). Câu Nội dung Điểm Đồ thị hàm số y = ax + 4 đi qua điểm A(a+1; a2- a) nên có: a2- a = a(a+1) +4. 0,5

 a2 - a = a2 +a + 4  a = -2. 0,75 a/ (1,5đ)

Vậy a = -2 thì đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a). 0,25 Với a = -2 ta có hàm số y = f(x) = -2x + 4  f(3x- 1) = -6x + 6; f(1- 3x) = 6x + 2. 0,5

Do đó: f(3x- 1) = f(1- 3x)  -6x + 6 = 6x + 2  x = . 1 3 0,75 b/ (1,5đ)

Vậy khi x = thì f(3x- 1) = f(1- 3x). 3 1 0,25

Bài 4 (7,0 điểm)

Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABM, ACN vuông cân tại A. BN và MC cắt nhau tại D.

a) Chứng minh: AMC = ABN. b) Chứng minh: BN  CM. c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm. Tính MN. d) Chứng minh rằng DA là phân giác của góc MDN.

Câu Nội dung Điểm

ThuVienDeThi.com