Đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi môn Toán 7

PHÒNG GD&ĐT HIỆP HÒA TRƯỜNG THCS DANH THẮNG

ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2016-2017

MÔN: Toán 7 Thời gian : 150 phút

Câu 1 ( 4 điểm )

1) Cho A = + + …+ B = + +…..+ 1 1.2

1 3.4

1 37.38

1 20.38

1 21.37

1 38.20

CMR là một số nguyên. A B 2) Tìm , y thỏa mãn . x 1 2 3 4 3 x x y x        

Câu 2 ( 5 điểm )

1) CMR: 1 ! 100

99 ........ !4 3 !3 2 !2 1     

2) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện:

b

b a c

a

a c b

c

c b a         . Hãy tính giá

trị của biểu thức                    b c c a a b B 1 1 1 .

3) Tìm một nghiệm của đa thức P(x) = x3 +ax2 + bx + c. Biết rằng đa thức có nghiệm và

a+2b+4c= ‒

1 2 Câu 3 ( 4 điểm )

1) Cho 20 số nguyên khác 0 : a1, a2, a3, … , a20 có các tính chất sau:

* a1 là số dương. * Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương. * Tổng của 20 số đó là số âm. Chứng minh rằng : a1.a14 + a14a12 < a1.a12. 2) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a + 37 = + b - 45. b 45 

Câu 4 ( 6 điểm )Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. a) Chứng minh rằng : BE = CD.

b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CD. Chứng minh A là trung điểm của MN

c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax . Chứng minh BH + CK BC. 

d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất.

Câu 5 ( 1 điểm )

Cho 4 số không âm a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 1. Gọi S là tổng các giá trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số có được từ 4 số này. S có thể đạt được giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

……… Hết ………..

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN Câu 1

1) A = = 1 1 1 .......... 1.2 3.4 37.38    1 1 1 1 1 1 .......... 1 2 3 4 37 38      

= ( 1 + + ) – 1 3

1 1 .......... 5 37   1 1 1 ......... 2 4 38         

= 1 1 1 1 1 1 1 1 .......... 2 ........ 1 2 3 4 38 2 4 38                     

= B = => 58B= 1 1 1 ......... 20 21 38    1 1 1 ......... 20.38 21.37 38.20   

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ........... 2 ........... 20 38 21 37 38 20 20 21 38 2A

                

B = 2 58 29 58 2 A A Z B    

2)

Đặt 1 2 3 4 A x x y x        

Ta có nên 3 4 x 1 x     3 2 3 0 2; 3 A x y x y         

Vậy là kết quả cần tìm. 2; 3 x y  

Câu 2

1) (0,5®) ! 100

1 100 ....... !3

1 3 !2

1 2 ! 100

99 ...... !4 3 !3 2 !2 1           

................... 1 ! 100

1 1   

2)

+Nếu a+b+c 0

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:

b

b a c

a

a c b

c

c b a         = a b c b c a c a b

a b c

  

 = 1

mà 1 1 1 a b c b c a c a b

c a b

       = 2

=> a b b c c a

c a b

     =2

Vậy B = 1 1 1 ( )( )( ) b a c b a c a b c a c b a c b                   

=8

+Nếu a+b+c = 0

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:

ThuVienDeThi.com

b

b a c

a

a c b

c

c b a         = a b c b c a c a b

a b c

  

 = 0

mà 1 1 1 a b c b c a c a b

c a b

       = 1

=> a b b c c a

c a b

     =1

Vậy B = 1 1 1 ( )( )( ) b a c b a c a b c a c b a c b                   

=1

3)

Do đa thức có nghiệm nên gọi d là một nghiệm của đa thức đã cho. Ta có P(x) = (x-d)(x2 + mx+n) =x3 +mx2 +nx – dx2 – dmx – dn = x3 + (m-d)x2 + (n-dm)x –dn Cân bằng hệ số ta có: m –d =a ; n-dm = b; dn = -c

Thay a,b,c vào điều kiện đề bài đã cho a+2b+4c= ta có: ‒

1 2

?‒ ? + 2(?‒ ??) ‒ 4?? =‒

1 2 => ?‒ ? + 2?‒ 2??‒ 4?? =‒

1 2

=> ?( ‒ 4?‒ 2?‒ 1) + ? + 2?=‒

1 2 => 2 ?( ‒ 4?‒ 2?‒ 1) + 2? + 4? =‒ 1

=> 2 ?( ‒ 4?‒ 2?‒ 1) = ( ‒ 1 ‒ 4?‒ 2?) => ? =

1 2 Câu 3

1)

Ta có : a1 + (a2 + a3 + a4) + … + (a11 + a12 + a13) + a14 + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) < 0 ; a1 > 0 ; a2 + a3 + a4 > 0 ; … ; a11 + a12 + a13 > 0 ; a15 + a16 + a17 > 0 ; a18 + a19 + a20 > 0 => a14 < 0.

Cũng như vậy : (a1 + a2 + a3) + … …