Bài tập về phương trình bậc hai và định lí viét môn Toán

1

Bài tập về phương trình bậc hai và định lÝ viét

Bài 1:A) Cho phương trình: x2- mx + m2 -7 = 0

Tìm m để phương trình có một nghiệm là - 1. Tìm nghiệm còn lại.

B)Cho phương trình (m - 1)x2 - 4mx + 4m - 1 = 0 ( x là ẩn, m là tham số) a, Giải phương trình với m = 2 b, Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất . c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x12 + x22 = 1. Bài 2: Cho phương trình x2 - 2(k - 1)x + k - 4 = 0 (1) ( x là ẩn, k là tham số) a, Giải phương trình với k = 1. b,Chứng minh rằng PT (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k. c,Tìm k để PT có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó 2 nghiệm mang dấu gì? d, Chứng minh biểu thức A = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) không phụ thuộc vào giá trị của k( x1,x2 là hai nghiệm của phương trình). Bài 3: Cho phương trình (m + 3)x2 + 2mx + m - 3 = 0 (1) ( x là ẩn, m là tham số) a, Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình bậc hai. a, Giải phương trình với m = 3 b, Tìm m để phương trình có2 nghiệm trái dấu . c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x12 + x22 = 4. d,Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là nghịch đảo của 2 nghiệm phương trình (1). Bài 4: Cho phương trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 ( x là ẩn, m là tham số) a, Giải phương trình với m = - 2 b, Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m khác 1. c, Tìm m để phương trình có tích 2 nghiệm bằng 5. Từ đó hãy tính tổng 2 nghiệm. d, Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn = 1. 1 2 2 1 x x x x  e, Tìm một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m. Bài 5: Cho phương trình x2 + 2x - 5 = 0. Không giải phương trình hãy tính : a, Tổng và tích hai nghiệm của phương trình. b, Tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình. c, Tổng các nghịch đảo 2 nghiệm của phương trình. d, Tổng các nghịch đảo bình phương hai nghiệm của phương trình. e, Tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình. Bài 6:A) Cho phương trình 2x2 - 3x + 1= 0 . Không giải phương trình , hãy tính :

1. 2 . 3. Q =

2

2

1

1 1 1

x

x x

x   

1 1 1

2

2

1

   x

x x

x

2 3 1 3 2 1

2 2 2 1 2 1

5 5

6 10 6

x x x x

x x x x



 

4 .(x13 - x23 ):(x13 + x23) 5. a) + b)x1 +x2 1x 2x 1x 2x c)x1 +x2 d) - 2x 1x 1x 2x

ThuVienDeThi.com

2

B)Cho phương trình: x2+ 3x + 1 = 0 không giải phương trình trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = x1(2 - x2) + x2(2 - x1) b) B = 12 - 10 x1 x2 - ( x22+ x12) c) C = (2x1 - x2).(2x2 - x1)

d) D =

2 2 1 2 2 1

2 1 2 2 2 1

4 4

5 3 3

x x x x

x x x x



 

Bài 7. Lập phương trình bậc hai cho trước hai nghiệm x1, x2.

1) Cách giải:

Tính S = x1 + x2 P = x1.x2 Nếu S2 - 4P  0 thì x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2 - Sx + P= 0 2) Các bài tập áp dụng: VD1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm lần lượt là: 2 + ; 2 - . 3 3

Giải S = 2 + + 2 - = 4 3 3 P = (2 + )(2(- ) = 4 - 3 = 1 3 3 Do S2 - 4P = 42 - 4 = 12 > 0 Vậy 2 + và 2 - là hai nghiệm của phương trình: 3 3 x2 - 4x + 1 = 0

VD2: Chứng minh rằng tồn tại phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có một nghiệm là:

2 3

2 3





Giải

Cho x1 = = = 5 - 2 2 3

2 3





2 3

) 2 3 ( 2

  6

Chọn x2 = 5 + 2 6 Ta có: S = x1 + x2 = = 5 - 2 +5 + 2 = 10 6 6 P =(5 - 2 )(5 + 2 ) = 25 - 24 = 1 6 6 Do S2 - 4P = 102 - 4 = 96 > 0 Vậy x1,x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x2 -10x +1 = 0 Có các hệ số là số nguyên VD3: Cho phương trình: x2 - 5x + 4 = 0 có hai nghiệm x1, x2. hãy tìm một phương trình bậc hai có hai nghiệm lần lượt là: X1 = x1 + 1; X2 = x2 +1

Giải Xét phương trình: x2 - 5x + 4 = 0 có hai nghiệm x1, x2.

ThuVienDeThi.com